Diferència simètrica

Archiu:PolygonsSetSymmetricDifference.svg

La diferència simètrica de

A

i

B

és el conjunt que conté tots els elements de

A

i de

B

llevat aquells que pertanyen a abdós.

En teoria de conjunts, la diferència simètrica de dos conjunts és una operació el resultat de la qual és un atre conjunt que conté a aquells elements que pertanyen a cada u dels conjunts inicials, pero no a abdós al mateix temps. Per eixemple, la diferència simètrica del conjunt dels número par positius $P$ i el conjunt dels quadrats perfectes $C$ és un conjunt $D$ que conté els quadrats imparés i els parells no quadrats:

P = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, \dots}

C = {1, 4, 9, 16, 25, \dots}

D = {1, 2, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 18, \dots}

Definició

Archiu:Diferencia simetrica entre conjuntos.svg

Diferència simètrica de dos conjunts

A

i

B

.

Donats dos conjunts $A$ i $B$ , la seua diferència simètrica, A Δ B, és un conjunt que conté els elements de $A$ i $B$ que no són comunes a abdós:

Eixemple.

Sean $A = {a, ♠, 5, Z}$ i $B = {8, #, a, Γ, ♠}$ . La diferència simètrica és $A Δ B = {5, Γ, #, Z, 8}$ .
Siguen els conjunts de polígons $T = {pentàgons}$ i $R = {polígons regulars}$ . La diferència simètrica conté els polígons regulars i pentàgons que no siguen abdós coses al mateix temps, o siga: $R Δ T = {Pentàgons irregulars i polígons regulars que no posseïxquen 5 costats}$ .

La definició de la diferència simètrica pot reduir-se fàcilment a les operacions d'unió, intersecció i diferencia:

$A Δ B = (A \cup B) ∖ (A \cap B) = (A ∖ B) \cup (B ∖ A)$

Generalisacions

La diferència simètrica és conmutativa i associativa per lo que en prendre la diferència simètrica de més de dos conjunts, l'orde en el que es realisen les operacions és irrellevant (vore més avall). Aixina és que es pot definir la diferència simètrica d'una família de conjunts finita:

$A_{1} △ A_{2} △ \dots △ A_{n} \equiv (A_{1} △ (A_{2} △ (\dots △ A_{n}) \dots)$

Pot comprovar-se que una definició alternativa per a esta diferència de varis conjunts és incloure només els elements que apareixen un número impar de voltes:

$A_{1} △ A_{2} △ \dots △ A_{n} = {a \in \cup_{1 \leq i \leq n} A_{i} : el cardinal de {k : a \in A_{k}} es impar}$

Propietats

Artícul principal → Àlgebra de conjunts.

De la definició de diferència simètrica pot deduir-se directament:

La diferència simètrica té propietats semblants a les operacions en números:

Ademés, sobre l'intersecció existix una llei distributiva:

Les propietats de l'intersecció i la diferència simètrica són similars a les del producte i la suma en $Z 2$ . Açò implica que el conjunt potencia d'un conjunt dau $X$ té estructura d'anell considerant estes dos operacions. Este anell es correspon (és isomorfo) a l'anell de les funcions de $X$ en valors en $Z 2$ , en la suma i producte punt a punt. La correspondència assigna a cada subconjunt de $X$ la seua funció característica.

Vore també

Referències

M.I. Voitsekhovskii. «Symmetric difference of sets» (en anglés). Encyclopaedia of mathematics. Archivat des d'el original, el 30 de juliol de 2012.

Este artícul conté una traducció derivada de «Diferencia simétrica» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.