Llínea geodèsica

En geometria, la llínea geodèsica es definix com la llínea de mínima llongitut que unix dos punts en una superfície donada, i està continguda en esta superfície. El pla osculador de la geodèsica és perpendicular en qualsevol punt al pla tangente a la superfície. Les geodèsiques d'una superfície són les llínees "més rectes" possibles (en menor curvatura) fixat un punt i una direcció donada sobre dita superfície.

Dos llínees geodèsiques, en roig, sobre una superfície curva, eixes geodèsiques coincidixen en les trayectòries de dos partícules en el camp gravitatorio esfèric d'una massa central d'acort en la teoria general de la relativitat.

Triàngul geodèsic sobre una esfera. La llínea geodèsica seria qualsevol dels arcs que formen els triànguls.

Més generalment, es pot parlar de geodèsiques en "espais curvats" de dimensió superior cridats varietats riemannianas en a on, si l'espai conté una mètrica natural, llavors les geodèsiques són (localment) la distància més curta entre dos punts en l'espai. Un eixemple físic, de varietat semirriemanniana és el que apareix en la teoria de la relativitat general, que establix que les partícules materials es mouen a lo llarc de geodèsiques temporals del espai-temps curve.

El terme "geodèsic" prové de la paraula geodèsia, la ciència de medir el tamany i forma del planeta Terra; en el sentit original, va ser la ruta més curta entre dos punts sobre la superfície de la Terra, específicament, el segment d'un círcul màxim.

Introducció

Una varietat Riemanniana (M, g) és una varietat diferenciable dotada d'una estructura adicional d'espai mètric que permet generalisar conceptes de la geometria euclídea a espais més generals. En concret, l'espai tangente a cada punt es dota d'un producte escalar, que determina la mètrica en la varietat, donada per:

$g_{ij}{|}_p=⟨\frac{\partial }{\partial x_i}{|}_p,\frac{\partial }{\partial x_j}{|}_p⟩$

a on <,> és el producte escalar anteriorment definit i p és qualsevol punt de la varietat M.

En funció d'esta mètrica, la llongitut L_C a lo llarc d'una curva continguda en ella s'evalua gràcies a les components g_ij del tensor mètric g del següent modo:

$L_C=\underset{C}{\int }\sqrt{\sum _{i,j}{g}_{ij}x{\text{'}}_i(t)x{\text{'}}_j(t)}dt$

A on x_i(t) és l'expressió paramètrica dels punts de la curva parametrizada per mig del paràmetro t. Totes les llínees geodèsiques són extremales de l'integral anterior. Una de les formes d'obtindre les equacions de les geodèsiques és minimisar el funcional anterior. En eixe cas les equacions de Euler-Lagrange proporcionen les curves geodèsiques.

Les geodèsiques com a curves d'acceleració nula

${ℝ}^n$posseïx una estructura afí que permet 'conectar' espais tangentes de distints punts d'una forma natural. Donat un $p\in {ℝ}^n$, es pot identificar $T_p{ℝ}^n$ en el propi ${ℝ}^n$, lo que permet diferenciar camps vectorials de manera senzilla i intuïtiva. Este no és el cas per a varietats Riemannianas més generals, en les que els espais tangentes a cada punt són espais vectorials abstractes, de modo que no té sentit realisar operacions directament entre ells. Per a ilustrar açò, siga $X\in \chi (M)$ un camp vectorial en M i $\gamma (t)\in M$ una curva $\gamma :(-\epsilon ,\epsilon )\to M;t\mapsto \gamma (t)$. De forma intuïtiva, aplicant les tècniques del càlcul en ${ℝ}^n$, en calcular la derivada del camp $X$ en un $t_0\in (-\epsilon ,\epsilon )$ a lo llarc de la curva $\gamma$:

$X^{\prime }{|}_{t_0}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{X{|}_{\gamma (t_0+h)}-X_{\gamma (t_0)}}{h}$

No obstant, $X{|}_{\gamma }(t_0+h)$ i $X{|}_{\gamma }(t_0)$ pertanyen a espais vectorials distints i l'operació anterior no té sentit. Per a això és necessari 'conectar' els espais vectorials dels distints punts de la varietat de manera que l'operació anterior tinga sentit. Per a això sorgix el concepte de conexió afí.

Conexió afí

Una conexió afí és una aplicació $\mathrm{\nabla }:\chi (M)\times \chi (M)\to \chi (M),(X,Y)\mapsto {\mathrm{\nabla }}_{Y}X$ que complix:

$i){\mathrm{\nabla }}_{f\cdot Y_1+g\cdot Y_2}X=f{\mathrm{\nabla }}_{Y_1}X+g{\mathrm{\nabla }}_{Y_2}X$

$ii){\mathrm{\nabla }}_Y(X_1+X_2)={\mathrm{\nabla }}_Y{X}_1+{\mathrm{\nabla }}_Y{X}_2$

$iii){\mathrm{\nabla }}_Y(f\cdot X)=f\cdot {\mathrm{\nabla }}_{Y}X+X\cdot Y(f)$

per a funcions $f,g\in C^{\mathrm{\infty }}(M)$ i camps $X_1,X_2,Y_1,Y_2\in \chi (M)$.

En elegir una carta al voltant d'un punt p de la varietat: $(U\ni p,\phi =(x_1,\dots ,x_n))$, llavors s'expressa la conexió en funció de les coordenades locals. En efecte, siguen:

$X=\sum _{i=1}^n{f}_i(x_1,\dots ,x_n)\frac{\partial }{\partial x_i}$ i $Y=\sum _{j=1}^n{g}_j(x_1,\dots ,x_n)\frac{\partial }{\partial x_j}$. En expressar la conexió ${\mathrm{\nabla }}_{Y}X$ en funció de les coordenades locals:

${\mathrm{\nabla }}_{Y}X={\mathrm{\nabla }}_{\sum _{j=1}^n{g}_j(x_1,\dots ,x_n)\frac{\partial }{\partial x_j}}(\sum _{i=1}^n{f}_i(x_1,\dots ,x_n)\frac{\partial }{\partial x_i})$$=\sum _{i=1}^n{f}_i\sum _{j=1}^n(\frac{\partial g_j}{\partial x_j}\frac{\partial }{\partial x_j}+g_j{\mathrm{\nabla }}_{\frac{\partial }{\partial x_i}}\frac{\partial }{\partial x_j})$$=\sum _{k=1}^n(\sum _{i,j}{f}_i{g}_j{\Gamma }_{i,j}^k+Y(f_k))\frac{\partial }{\partial x_k}$, a on ${\Gamma }_{i,j}^k(x_1,\dots ,x_n)$ són els símbols de Christoffel de la conexió i vénen daus per la següent expressió:

${\mathrm{\nabla }}_{\frac{\partial }{\partial x_i}}\frac{\partial }{\partial x_j}=\sum _{k=1}^n{\Gamma }_{i,j}^k\frac{\partial }{\partial x_k}$.

Derivada covariant i transport paralel

Ara siga $Y\in \chi (M)$ un camp en M i $c:(-\epsilon ,\epsilon )\to M$ una curva integral de dit camp, de modo que $c^{\prime }(t)=Y{|}_{c(t)}$ i siga $X\in \chi (M)$ un atre camp. Siga $\bar{c}(t)=(\phi \circ c)(t)$ l'expressió local de la curva. En esta situació, el camp ${\mathrm{\nabla }}_{Y}X{|}_{c(t)}$ únicament depén de $X{|}_{c(t)}$ i de $c(t)$. Açò motiva la següent notació: ${\mathrm{\nabla }}_{c^{\prime }(t)}v(t):={\mathrm{\nabla }}_{Y}X{|}_{c(t)}$, a on $v(t)=X{|}_{c(t)}$ és la restricció del camp X a la curva c. L'expressió anterior particulariza el concepte de conexió afí a les restriccions de camps sobre una curva integral. En definir derivada covariant a lo llarc d'una curva com:

$\frac{Dv}{dt}={\mathrm{\nabla }}_{c^{\prime }(t)}v(t)$.

La derivada covariant és una generalisació de l'acceleració en varietats Riemannianas.

Un camp de vectores $v(t)$ es diu paralel a lo llarc d'una curva $c(t)$ si la seua derivada covariant s'anula a lo llarc d'esta. Donada una curva $c(t)$ i un vector $v_0\in TpM$ per a algun $p\in M$, l'existència de dit camp paralel està garantisada pel teorema d'existència i unicitat d'equacions diferencials ordinàries. En efecte, a prendre l'expressió de la derivada covariant i igualar a 0 s'obté un sistema llineal d'equacions diferencials ordinàries:

$\frac{Dv(t)}{dt}=\sum _{k=1}^n(v{\text{'}}_k(t)+\sum _{i,j}{v}_i(t){\bar{c}}_j(t){\Gamma }_{j,i}^k({\bar{c}}_1,\dots ,{\bar{c}}_n))\frac{\partial }{\partial x_k}=0$, $v(0)=v_0.$

Geodèsiques

Continuant en el concepte de que la derivada covariant representa d'alguna manera l'acceleració, és natural concebre les geodèsiques com a curves de derivada covariant nula. Com l'acceleració no és una magnitut que posseïxquen les curves sino els vectores, llavors sembla natural que si $\gamma (t)$ és una geodèsica complixca:

${\mathrm{\nabla }}_{{\gamma }^{\prime }}{\gamma }^{\prime }=0.$

És dir, les geodèsiques són curves el vector de les quals tangente és un camp paralel a lo llarc de sí mateixa. Ací, com es veu, $v(t)={\gamma }^{\prime }(t)$. Expandint l'equació anterior s'obté el sistema d'equacions de segon orde:

${\gamma }^{\prime }{\text{'}}_k(t)+\sum _{i,j}{\Gamma }_{i,j}^k\gamma {\text{'}}_i\gamma {\text{'}}_j=0,k=1,2,\mathrm{...},n$,

que es resol en les condicions inicials $\gamma (0)=p;{\gamma }^{\prime }(0)=v$. Note's que si $\gamma$ és una geodèsica, llavors $|{\gamma }^{\prime }(t)|=cte$. Açò implica, en efecte, que les geodèsiques tenen acceleració intrínseca nula. Per a entendre açò millor, suponga's que la varietat és l'esfera unitat $M={𝕊}^2\subset {ℝ}^3$. Llavors, les geodèsiques són curves que es recorren en velocitat constant en l'esfera, lo que implica que tenen, en térmens físics, acceleració tangencial nula, pero vistes com a curves de ${ℝ}^3$encara tindrien acceleració normal distinta de 0. Eixe vector acceleració normal, no obstant, no pertany a l'espai tangente a un punt de l'esfera, de manera que, intrínsecament, per a un observador que vixquera en l'esfera, efectivament eixa curva es recorreria sense acceleració.

Eixemples

• Les geodèsiques en l'espai euclídeo ${𝔼}^n$ són les llínees rectes.
• Les geodèsiques en ${ℍ}^2$, l'espai hiperbòlic, són arcs de circumferència.
• Les geodèsiques en ${𝕊}^2$ són arcs de circumferències màximes. Si es considera l'esfera com encaixada en l'espai euclídeo tridimensional llavors els círculs màxims s'obtenen com a intersecció de l'esfera en un pla que passe pel seu centre. En particular, els meridianos d'una esfera i l'equador són llínees geodèsiques. Usant coordenades $(r,\theta ,\varphi )$esfèriques per a una esfera de ràdio R, les equacions de les geodèsiques són simplement:

En particular un meridià que travesse els pols nort i sur, respon a les equacions paramètriques:

Que satisfà les equacions (*) trivialment.

Curves integrals en el fibrado tangente

El sistema d'equacions de les geodèsiques obtingut abans no depén de $\gamma$ explícitament, solament de ${\gamma }^{″}$ i ${\gamma }^{\prime }$. Açò implica que dit sistema d'equacions de segon orde i tamany n, pot transformar-se fàcilment en un sistema d'equacions de primer orde i tamany 2n. En efecte, cridant ${\delta }_k(t)=\gamma {\text{'}}_k(t)$ s'obté el sistema:

${\delta }_k(t)=\gamma {\text{'}}_k(t)$; $\delta {\text{'}}_k=-\sum _{i,j}^k{\delta }_i{\delta }_j$

en condicions inicials ${\gamma }_k(0)={\gamma }_k^0$ i ${\delta }_k(0)={\gamma }_k{\text{'}}^0$. Observant be, este sistema pot interpretar-se com un sistema de EDVos de primer orde sobre el fibrado tangente de la varietat. En efecte, les nostres noves variables $({\gamma }_1\dots ,{\gamma }_n,{\delta }_1\dots ,{\delta }_n)$ són un conjunt de N coordenades i N velocitats, tals que ${\varphi }^{-1}:({\gamma }_1\dots ,{\gamma }_n,{\delta }_1\dots ,{\delta }_n)\mapsto \sum _i{\delta }_1\frac{\partial }{\partial x}{|}_{({\gamma }_1,\mathrm{...},{\gamma }_n)}$ és l'inversa del homeomorfisme d'una carta en el fibrado tangente. Aixina, les geodèsiques poden interpretar-se com a curves integrals d'un camp sobre el fibrado tangente, cridat camp geodèsic.

Archiu:Geodesic of Enneper surface.webm

Vore també

• Cúpula geodèsica
• Varietat de Riemann
• Curvatura
• Curves en secció de la Terra

Bibliografia

• do Carmo (1993). Birkhäuser (ed.). Riemannian Geometry. ISBN 0-8176-3490-8.
• «Els Fonaments de la Teoria General de la Relativitat (Die Grundlage der allgemeinen Relativitatstheorie)».Annalen der Physik.

769-822. (Text en espanyol)

• Shoshichi Kobayashi (1996). Wiley-Interscience (ed.). Foundations of Differential Geometry, Vol. 1. ISBN 0-471-15733-3.
• O'Neill, Barret (1983). Academic Press,London (ed.). Semi-Riemannian Geometry. ISBN 0-12-526740-1. Per al cas semiriemanniano.
• Arellano (1993). Geometry Differential.