Teorema de recurrencia de Poincaré

En física, la teorema de recurrencia de Poincaré establix que certs sistemes, despuix d'un temps suficientment llarc, pero finito, tornaran a un estat molt propenc, si no exactament igual a l'estat inicial. El temps de recurrencia de Poincaré és el temps transcorregut fins a la recurrencia; este temps pot variar molt segons l'estat inicial exacte i el grau requerit de rodalia. El resultat s'aplica a sistemes mecànics aïllats subjectes a algunes restriccions, per eixemple, totes les partícules deuen estar unides a un volum finito. La teorema es discutix comunament en el context de la teoria ergòdica, els sistemes dinàmics i la mecànica estadística .

La teorema du el nom d'Henri Poincaré, qui ho va discutir en 1890 i va ser provat per Constantin Carathéodory utilisant la teoria de les mides en 1919.

Formulació precisa

Qualsevol sistema dinàmic definit per una equació diferencial ordinària determina un mapa de fluix f ^t es mapea l'espai de fase en sí mateixa. Es diu que el sistema conserva el volum, si el volum d'un conjunt en l'espai de fase és invariante baix el fluix. Per eixemple, tots els sistemes hamiltonianos conserven el volum pel teorema de Liouville. La teorema és llavors: si un fluix conserva el volum i solament té òrbites llimitades, llavors per a cada conjunt obert existixen òrbites que intersectan el conjunt infinitament a sovint.

Discussió de la prova

La prova, parlant cualitativamente, depén de dos premisses:

1. Es pot establir un llímit superior finito en el volum total de l'espai de fase potencialment accessible. Per a un sistema mecànic, este llímit es pot proporcionar en requerir que el sistema estiga contingut en una regió física de l'espai delimitada (de modo que, per eixemple, no puga expulsar partícules que mai retornen): combinada en la conservació de l'energia, açò bloqueja al Sistema en una regió finita en l'espai de fase.
2. Es conserva el volum de fase d'un element finito baix dinàmica. (per a un sistema mecànic, açò està garantisat pel teorema de Liouville)

Imagine qualsevol volum inicial finito d'espai de fase i seguixca la seua trayectòria en la dinàmica del sistema. El volum "agrana" els punts de l'espai de fase a mida que evoluciona, i el "front" d'esta agranada té un tamany constant. En el temps, el volum de fase explorat (conegut com "tubo de fase") creix linealmente, a lo manco al principi. Pero, degut a que el volum de fase accessible és finito, el volum del tubo de fase deu saturar-se degut a que no pot créixer més que el volum accessible. Açò significa que el tubo de fase deu intersecarse. No obstant, per a intersecarse, deu fer-ho primer passant pel volum inicial. Per lo tant, a lo manco una fracció finita del volum inicial és recurrent.

Ara, considere el tamany de la part que no retorna del volum de la fase inicial, eixa part que mai retorna al volum inicial. Usant el principi que acabem d'analisar en l'últim paràgraf, sabem que si la part de no devolució és finita, llavors una part finita de la part de no devolució deu retornar. Pero això seria una contradicció, ya que qualsevol part de la part no tornada que torna, també retorna al volum inicial original. Per lo tant, la part sense tornada del volum d'inici no pot ser finita i deu ser infinitament més chicoteta que el volum d'inici en sí o QED.

La teorema no comenta sobre certs aspectes de la recurrencia que esta prova no pot garantisar:

• Pot haver algunes fases especials que mai retornen al volum de la fase d'inici, o que solament retornen al volum d'inici un número finito de voltes i que mai més retornen. No obstant, estos són extremadament "rars", formant una part infinitesimal de qualsevol volum inicial.
• No totes les parts del volum de la fase necessiten tornar al mateix temps. Alguns "perdran" el volum inicial en la primera passada, solament per a fer la seua devolució en un moment posterior.
• Res impedix que el tubo de fase torne al seu volum inicial ans que s'agote tot el volum de fase possible. Un eixemple trivial d'açò és l'oscilador harmònic. Els sistemes que cobrixen tot el volum de fase accessible es denominen ergòdics (açò per supost depén de la definició de "volum accessible").
• Lo que es pot dir és que per a "casi qualsevol" fase d'inici, un sistema eventualment retornarà arbitrariamente prop d'eixa fase d'inici. El temps de recurrencia depén del grau de rodalia requerit (el tamany del volum de la fase). Per a conseguir una major precisió de la recurrencia, necessitem un volum inicial més menut, lo que significa un temps de recurrencia més prolongat.
• Per a una fase donada en un volum, la recurrencia no és necessàriament una recurrencia periòdica. El segon temps de recurrencia no necessita ser el doble del primer temps de recurrencia.