Teorema de Liouville (mecànica hamiltoniana)

En física, la teorema de Liouville és un resultat de la mecànica hamiltoniana sobre l'evolució temporal d'un sistema mecànic. Un conjunt de partícules en condicions inicials propenques poden representar-se per la regió conexa que ocupa en l'espai de fases. La teorema establix que dita regió mantindrà invariante el seu volum a pesar de que s'estirarà i s'encollirà a mida que cada partícula evolucione.

Introducció

Considerem una regió del espai fásico que evoluciona en el temps en desplaçar-se sobre la seua trayectòria. Cada u dels seus punts es transforma al cap del temps en una regió de forma diferent ubicada, ademés, en una atra part de l'espai fásico. La teorema de Liouville afirma que a pesar de la translació i el canvi de forma el «volum» total de dita regió permaneixerà invariante. Ademés per la continuïtat de l'evolució temporal si la regió és conexa inicialment seguirà sent conexa tot el temps.

Casi totes les demostracions usen el fet de que l'evolució temporal d'un «núvol» de punts en l'espai fásico és de fet una transformació canònica que canviarà la forma i posició de dita núvol, encara que mantindrà el seu volum total.

Demostració directa

Una forma de provar que l'evolució temporal és una transformació canònica, cosa relativament senzilla, i a partir d'ahí calcular directament el determinant de dit canvi de coordenades, i provar que de fet el determinant de dita transformació és igual a 1, lo que prova la invariancia del volum.

Demostració basada en la forma simpléctica

Una atra forma de provar la teorema és tindre en conte que la forma de volum ${\eta }_{\Gamma }$ de l'espai fásico és el n-ésimo producte de la forma simpléctica, i que està d'acort en la teorema de Darboux s'expressa com a producte de parells de variables canónicamente conjugades:

D'a on se seguix que el determinant de la transformació és igual a 1 i, per tant:

Esta última expressió és essencialment l'enunciat de la teorema de Liouville.

Equació de Liouville

La teorema de Liouville pot reescriure's en térmens del corchete de Poisson. Esta forma alternativa, coneguda com a equació de Liouville, ve donada per:

o en térmens del operador de Liouville, també cridat «Liouvilliano»:

que du a la forma: