Topología traça

En topología, la topología traça (també, induïda o relativa) és la topología que es definix sobre un subconjunt $Y\subseteq X$ a partir de la topología del espai topològic $X$.

Definició formal

Sean $(X,𝒯)$ un espai topològic i $Y$ un subconjunt de $X$. Llavors, la topología traça sobre $Y$ és la topología menys fina que fa contínua a l'injecció canònica $i:Y\hookrightarrow X$, és dir, l'aplicació definida per $i(y)=y,\mathrm{\forall }y\in Y$.

És possible provar que els oberts de la topología traça sobre $Y\subseteq X$ són les interseccions de $Y$ en els oberts de $X$:

$𝒯{|}_Y=\{Y\cap A:A\in 𝒯\}$.

La topología traça es denota per mig de $𝒯{|}_Y$ i es diu que $(Y,𝒯{|}_Y)$ és un subespacio topològic de l'espai $(X,𝒯)$. Si l'aplicació $i:Y\hookrightarrow X$ és oberta, es diu que $Y$ és un subespacio obert, i que $Y$ és un subespacio tancat si $i:Y\hookrightarrow X$ és tancada.

Propietats

Propietats de la topología traça sobre un subespacio $Y\subseteq X$: Un conjunt $U^{\prime }\subseteq Y$ és obert en la topología $𝒯{|}_Y$ si, i només si, existix un obert $U\in 𝒯$ tal que $U^{\prime }=Y\cap U$. Un conjunt $U^{\prime }\subseteq Y$ és tancat en la topología $𝒯{|}_Y$ si, i només si, existix un tancat $U$ de $X$ tal que $U^{\prime }=Y\cap U$. Si $B\subseteq Y\subseteq X$, llavors $𝒯{|}_B=(𝒯{|}_Y){|}_B$. Si $Y$ és un subespacio obert de $X$, un conjunt $U^{\prime }\subseteq Y$ és obert en $Y$ si, i només si, és obert en $X$. Si $Y$ és un subespacio tancat de $X$, un conjunt $U^{\prime }\subseteq Y$ és tancat en $Y$ si, i només si, és tancat en $X$.

Vore també

• Espai topològic
• Topología
• Espai de Hausdorff
• Conjunt obert
• Funcions obertes i tancades

Bibliografia

• Bourbaki, Nicolas, Elements of Mathematics: General Topology, Addison-Wesley (1966)
• Willard, Stephen. General Topology, Dover Publications (2004) ISBN 0-486-43479-6