Funtor exacte

En àlgebra homollògica, un funtor exacte és un funtor d'una categoria abeliana a una atra que preserva successions exactes.

Definició formal

Siga A i C categories abelianas i siga :F: A→C un funtor, siga :0→A→B→C→0 una successió exacta curta d'objectes de A llavors F és exacte si 0→F(C)→F(B)→F(A)→0 és de nou una successió exacta.

Atres definicions relatives al funtor F són:

• semi-exacte si F(A)→F(B)→F(C) és una successió exacta.
• exacte esquerre si 0→F(A)→F(B)→F(C) és una successió exacta.
• exacte dret si F(A)→F(B)→F(C)→0 és una successió exacta.

• De fet no és necessari escomençar sempre en una successió exacta per a garantisar certes propietats del funtor F, es demostra que són equivalent les següents definicions.

• F és un funtor exacte si A→B→C és una successió exacta llavors F(A)→F(B)→F(C) és una successió exacta.
• F és un funtor exacte esquerre si 0→A→B→C és una successió exacta llavors 0→F(A)→F(B)→F(C) és una successió exacta.
• F és un funtor exacte dret si A→B→C→0 és una successió exacta llavors F(A)→F(B)→F(C)→0 és una successió exacta.

Eixemples

• L'eixemple més important de funtor exacte esquerre és el funtor Hom. Si A és una categoria abeliana i A és un objecte de A llavors F_A(X) = Hom_A(A,X) és un funtor de A en Ab (la categoria de grups abelianos este funtor és un funtor exacte esquerre F és exacte si i solament si A és proyectivo. El funtor G_A(X) = Hom_A(X,A) és un funtor de A^op en Ab també és un funtor exacte esquerre i és exacte si i solament si A és inyectivo.

• Si K és un cos i V és un espai vectorial sobre K siga V* = Hom_k(V,k), en lo que obtenim un funtor exacte de la categoria de K-Vec (la categoria d'espais vectorials en sí mateixa. (l'exactitut es deu a que K és un espai vectorial inyectivo). De forma alterna un pot argumentar que tota successió exacta curta de K-espais vectorials es factoriza i que qualsevol funtor aditiu envia successions factorisades en successions factorizadas).

• Si X és una espai topològic, podem considerar la categoria de gavillas de grups abelianos en X. El funtor que associa a cada gavilla G el grup de seccions globals G(X) és exacte esquerre.

• Si R és un anell i M és un R mòdul, podem definir un funtor H_T de la categoria de mòduls R-Mod a la categoria de grups abelianos Ab usant el producte tensorial sobre R: 'HT(X) = T ⊗ X. Açò nos dona un funtor exacte dret de la categoria de R-Mod en Ab. És exacte si i solament si T és pla.

Si A i B són dos categories abelianas, podem considerar la categoria de funtores B^A els objectes del qual són funtores de A en B i els morfismos entre dos objectes són transformacions naturals llavors tenim un funtor I_A de B^A a B evaluant funtores en A. Este funtor 'IA és exacte.

Referències

• Jacobson, Nathan (2009). Basic algebra, 2nd edició, Dover. ISBN 978-0-486-47187-7.