Toroide

Toroide

Toroide generat per un quadrat.

En geometria, el toroide és la superfície de revolució generada per un polígon o una curva plana tancada simple, que gira al voltant d'una recta exterior coplanar (l'eix de rotació) en la que no es interseca. La seua forma es correspon en la superfície dels objectes que, en el parla quotidiana, es denominen: argollas, anells, rogles, rosquilla, picarón o dònut. La paraula toroide també s'usa per a referir-se a un poliedre toroidal, la superfície de revolució generada per un polígon que gira al voltant d'un eix.

Bou, generat per un círcul.

Erro al crear miniatura:

Bou, model en 3 dimensions.

Quan la curva tancada és una circumferència, la superfície es denomina «bou». En llenguage quotidià es diu «anell» al cos la superfície exterior del qual és un «bou», lo que ilustra la diferència entre una superfície i el volum tancat per ella.

Volum

El volum tancat per un toroide és:

$V=2\pi RA$

a on R és la distància de l'eix de rotació al isobaricentro de la figura plana generatriz i A l'àrea llimitada per dita figura.

Diverses equacions del toroide

Erro al crear miniatura:

En un sistema de coordenades cartesianas de centre O, eixos horisontals x i i i eix vertical z, la superfície del bou es pot generar del modo següent. Es construïx sobre el pla xz una circumferència de ràdio r en centre en el punt C que està sobre l'eix x i a distància R de O. La superfície del bou es genera quan es fa girar esta circumferència al voltant de l'eix z.

Equacions paramètriques

Les coordenades d'un punt qualsevol del bou s'obtenen per mig de les següents expressions, a on intervenen els paràmetros: α és la latitut del punt respecte del pla xz, i β l'àngul de rotació de la circumferència generatriz al voltant de l'eix z o llongitut. Es té llavors que

$\{\begin{array}{c}x=(R+r\cos \alpha )\cos \beta \\ y=(R+r\cos \alpha )\mathrm{sen}\beta \\ z=r\mathrm{sen}\alpha \end{array}$

A qualsevol parell ordenat de valors dels ànguls α i β li correspon un punt del bou de coordenades: x, i, z.

Equació cartesiana

Partint de les equacions:

$\begin{array}{c}x=(R+r\cos \alpha )\cos \beta \\ y=(R+r\cos \alpha )\mathrm{sen}\beta \\ {\mathrm{sen}}^2\beta +{\cos }^2\beta =1\end{array}\}⟶x^2+y^2=(R+r\cos \alpha {)}^2$

es pot eliminar l'àngul β. A partir de les següents equacions, es pot també eliminar α:

$\begin{array}{c}{x}^2+y^2=(R+r\cos \alpha {)}^2\\ z=r\mathrm{sen}\alpha \\ {\mathrm{sen}}^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1\end{array}\}⟶x^2+y^2={(R+\sqrt{r^2-z^2})}^2$

Equació cartesiana

L'equació en coordenades cartesianas d'un bou l'eix del qual de gir és l'eix z, R la distància del centre del círcul a l'eix i r el radi del círcul, és:

${(R-\sqrt{x^2+y^2})}^2+z^2=r^2$

racionalisant

${(x^2+y^2+z^2+R^2-r^2)}^2-4R^2(x^2+y^2)=0$

a on l'expressió de la dreta és l'equació que deuen satisfer les coordenades x, i, z de qualsevol punt del bou.

Vore també

• Bou (geometria)
• Anex:Equacions de figures geomètriques