Nabla

El símbol nabla

En geometria diferencial, nabla (també cridat del) és un operador diferencial vectorial representat pel símbol: $\mathrm{\nabla }$ (nabla).

En coordenades cartesianas tridimensionals, nabla es pot escriure com

$\mathrm{\nabla }=\hat{x}\frac{\partial }{\partial x}+\hat{y}\frac{\partial }{\partial y}+\hat{z}\frac{\partial }{\partial z},$

sent $\hat{x}$, $\hat{y}$ i $\hat{z}$ els vectores unitaris en les direccions dels eixos coordenats. Esta base també es representa per $\hat{ı}$, $\hat{ȷ}$, $\hat{k}$.

Simbologia

Artícul principal → Símbol nabla.

l'arpa, l'instrument que dona nom al símbol nabla

El nom del símbol ∇ prové de la paraula grega equivalent a la paraula hebrea arpa, instrument musical que té una forma similar. Hi ha paraules relacionades en els llenguages arameo i hebreu. El símbol va ser usat per primera volta per William Rowan Hamilton, pero de forma lateral: ◁. Un atre nom menys conegut del símbol és atled (delta deletreado al revés), perque nabla és una lletra grega delta (Δ) invertida: en el grec actual li la crida ανάδελτα (anádelta), que significa "delta invertida".

En HTML s'escriu ∇ i en LaTeX com abla. En Unicode, és el caràcter O+2207, o 8711 en notació decimal.

Aplicacions de l'operador nabla

En coordenades cartesianas

En este cas l'operador nabla $(\mathrm{\nabla }=\hat{x}\frac{\partial }{\partial x}+\hat{y}\frac{\partial }{\partial y}+\hat{z}\frac{\partial }{\partial z})$ pot aplicar-se a camps escalares $(\varphi )$ o a camps vectorials $(𝐅=F_x\hat{x}+F_y\hat{y}+F_z\hat{z})$ per a les següents operacions:

• Gradient:	$\mathrm{\nabla }\varphi =\hat{x}\frac{\partial \varphi }{\partial x}+\hat{y}\frac{\partial \varphi }{\partial y}+\hat{z}\frac{\partial \varphi }{\partial z}$
• Divergència:	$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}$
• Rotacional:	$\mathrm{\nabla }\times 𝐅=\hat{x}(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z})+\hat{y}(\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x})+\hat{z}(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y})$
• Laplaciano:	${\mathrm{\nabla }}^2\varphi =\Delta \varphi =\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial z^2}$

Atres sistemes de coordenades ortogonals

Gradient

Quan s'ampren sistemes de coordenades diferents de les coordenades cartesianas, l'expressió de nabla deu generalisar-se, per lo que en l'expressió apareixen els factors d'escala $h_i$. Per a un sistema de coordenades generals en vectores de la base ${\hat{q}}_i$, l'expressió del gradient d'un camp escalar $V$ és

$\mathrm{\nabla }V=\frac{{\hat{q}}_1}{h_1}\frac{\partial V}{\partial q_1}+\frac{{\hat{q}}_2}{h_2}\frac{\partial V}{\partial q_2}+\frac{{\hat{q}}_3}{h_3}\frac{\partial V}{\partial q_3},$

de manera que l'operador nabla es pot escriure com

$\mathrm{\nabla }=\frac{{\hat{q}}_1}{h_1}\frac{\partial }{\partial q_1}+\frac{{\hat{q}}_2}{h_2}\frac{\partial }{\partial q_2}+\frac{{\hat{q}}_3}{h_3}\frac{\partial }{\partial q_3}$

Pot vore's que si en estes expressions se substituïxen els vectores de la base cartesiana i els seus factors d'escala $h_1=h_2=h_3=1$, s'obtenen l'expressions mencionades més dalt per a coordenades cartesianas.

En particular, per a coordenades cilíndriques ($h_{\rho }=h_z=1,h_{\phi }=\rho$) resulta

$\mathrm{\nabla }=\hat{\rho }\frac{\partial }{\partial \rho }+\frac{\hat{\phi }}{\rho }\frac{\partial }{\partial \phi }+\hat{z}\frac{\partial }{\partial z}$

i per a coordenades esfèriques ($h_r=1,h_{\theta }=r,h_{\phi }=r\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\theta$)

$\mathrm{\nabla }=\hat{r}\frac{\partial }{\partial r}+\frac{\hat{\theta }}{r}\frac{\partial }{\partial \theta }+\frac{\hat{\phi }}{r\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\theta }\frac{\partial }{\partial \phi }$

Atres operacions

L'us de nabla en sistemes diferents al cartesiano per a atres operacions vectorials no té qualitat d'operador. En estos casos l'us de nabla es considera merament simbòlic, ya que la dependència de les components dels vectores respecte de la base fa impossible aïllar una expressió per a $\mathrm{\nabla }$ de la mateixa forma que es va fer en el gradient. Per eixemple, en el cas del càlcul de la divergència, l'expressió en coordenades generals és

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀=\frac{1}{h_1{h}_2{h}_3}(\frac{\partial }{\partial q_1}(h_2{h}_3{A}_1)+\frac{\partial }{\partial q_2}(h_1{h}_3{A}_2)+\frac{\partial }{\partial q_3}(h_1{h}_2{A}_3)),$

a on es veu que no hi ha manera fàcil d'expressar qué factors d'escala es multipliquen dins de cada diferencial a través d'un operador.

Vore també

• Equacions de Maxwell
• Nabla en coordenades cilíndriques i esfèriques
• Taula de símbols matemàtics

Bibliografia

• Història del símbol Nabla: "Nabla no és una lletra grega"

• Cleve Moldre, ed., "History of Nabla", NA Digest 98 (Jan. 26, 1998).

Bibliografia alvançada

• Div, Grad, Curl, and All That, H. M. Schey, ISBN 0-393-96997-5