Quadratura de Gauss

En anàlisis numèric un método de quadratura és una aproximació d'una integral definida d'una funció. Una quadratura de Gauss n, és una quadratura construïda per a obtindre el resultat exacte en integrar polinomis de grau 2n-1 o menys. Per a açò selecciona els punts d'evaluació x_i i els pesos w_i de forma convenient. La regla sol expressar-se per a una integral en l'interval [−1, 1], i ve donada per la següent expressió:

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f(x)dx\approx \sum _{i=1}^n{w}_{i}f(x_i)$

En el cas particular en que $f(x)$ és un polinomi de grau 2n-1 o menys, la quadratura de Gauss dona el valor exacte de l'integral. En el cas general, tal quadratura donarà bones aproximacions si $f(x)$ pot ser ben aproximada per un polinomi de grau 2n-1 o menys, en l'interval [−1, 1].

Fòrmula per a calcular $w_i$

També conegut com a método de Gauss-Legendre, els coeficients estan donats per

$w_i=\frac{2}{(1-x_i^2)[P{\text{'}}_n(x_i){]}^2};$

a on $P_n$ és el polinomis de Legendre de grau n en l'interval [−1, 1], i els x_i són les raïls de dit polinomi. La següent taula mostra els valors dels x_i i els pesos associats w_i, per a distints valors de n.

Número de punts, n	Punts, xi	Pesos, wi
1	0	2
2	$\pm \sqrt{1/3}$	1
3	0	8⁄9
	$\pm \sqrt{3/5}$	5⁄9
4	$\pm \sqrt{(3-2\sqrt{6/5})/7}$	$\frac{18+\sqrt{30}}{36}$
	$\pm \sqrt{(3+2\sqrt{6/5})/7}$	$\frac{18-\sqrt{30}}{36}$
5	0	128⁄225
	$\pm \frac{1}{3}\sqrt{5-2\sqrt{10/7}}$	$\frac{322+13\sqrt{70}}{900}$
	$\pm \frac{1}{3}\sqrt{5+2\sqrt{10/7}}$	$\frac{322-13\sqrt{70}}{900}$

Canvi d'intervals

Aplicant un canvi de variable llineal, es pot convertir una integral en l'interval [a, b], en una integral en [−1, 1]:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\frac{b-a}{2}\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f(\frac{b-a}{2}u+\frac{a+b}{2})du$

Després es pot aplicar la Quadratura de Gauss per a aproximar l'integral en [−1, 1]:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx \frac{b-a}{2}\sum _{i=1}^n{w}_{i}f(\frac{b-a}{2}{u}_i+\frac{a+b}{2})$

Referències

• https://web.archive.org/web/20100327115656/http://www.tonahtiu.com/notas/metodos/cuadratura_gauss.htm
• Burden, Richard L.; Faires, {{{nom2}}} (1998). «§4.7: Quadratura gaussiana», Anàlisis numèric. ISBN 968-7529-46-6.