Desviació estàndar

Una gràfica de la distribució normal (o curva en forma de campana, o curva de Gauss), a on cada banda té un ample d'una volta la desviació estàndar (vejau també: regla 68-95-99.7)

En estadística, la desviació típica (també coneguda com a desviació estàndar i desviació típica) i representada de manera abreviada per la lletra grega minúscula sigma σ o la lletra llatina s, aixina com per les sigles SD és una mida que s'utilisa per a quantificar la variació o la dispersió d'un conjunt de senyes numèriques.

Una desviació estàndar baixa indica que la major part de les senyes d'una mostra tendixen a estar agrupats prop de la seua mija (també denominada el valor esperat), mentres que una desviació estàndar alta indica que les senyes s'estenen sobre un ranc de valors més ampli.

Consideracions generals

La desviació estàndar d'una variable aleatòria, població estadística, conjunt de senyes o distribució de provabilitat és la raïl quadrada de la seua varianza. És algebraicamente més simple, encara que en la pràctica menys robusta, que la desviació mija. Una propietat útil de la desviació estàndar és que, a diferència de la varianza, s'expressa en les mateixes unitats que les senyes a partir dels que es calcula. Ademés d'expressar la variabilitat d'una població, la desviació estàndar s'usa comunament per a medir la fiabilitat de les conclusions estadístiques. Per eixemple, el marge d'error en les senyes dels sondejos d'opinió es determina calculant la desviació estàndar esperada en els resultats si la mateixa enquesta es portara a terme vàries voltes. Esta interpretació de la desviació estàndar a sovint es denomina "error estàndar" de l'estimació o "error estàndar de la mija" (quan es referix a una mija). Es calcula com la desviació estàndar de totes les miges que es calcularien a partir d'eixa població si s'extraguera un número infinit de mostres i es calculara la mija per a cada mostra. És molt important tindre en conte que la desviació estàndar d'una població i l'error estàndar d'una estadística obtinguda a partir d'eixa població (com la mija) són prou diferents, pero estan relacionats (relacionats per l'inversa de la raïl quadrada del número d'observacions). El marge d'error d'una enquesta es calcula a partir de l'error estàndar de la mija (o, alternativament, del producte de la desviació estàndar de la població i l'inversa de la raïl quadrada del tamany de la mostra, que és lo mateix) i és per lo general, aproximadament el doble de la desviació estàndar: la mitat de l'ample d'un interval de confiança del 95 per cent. En ciència, molts investigadors analisen la desviació estàndar de les senyes experimentals, i solament els efectes que s'allunten fins a dos desviacions estàndar de la mija, es consideren estadísticament significatius: l'error aleatori normal o la variació en les medicions es distinguixen d'esta manera dels efectes genuïns o associacions provables. Quan solament està disponible una mostra de senyes d'una població, el terme desviació estàndar de la mostra o desviació estàndar mostral pot referir-se a la cantitat mencionada anteriorment aplicada a eixes senyes, o també a una cantitat sobre la que es realisa un ajust que servix d'estimació no biaixada de la desviació estàndar de la població (és dir, de la desviació estàndar de tota la població).

Eixemples bàsics

Desviació estàndar mostral de la taxa metabòlica dels petreles

Ellibre de Murray Logan Biostatistical Design and Analysis Using R (2010) dona l'eixemple següent:

---

Els naturalistes Furness i Bryant varen medir la taxa metabòlica en repòs de 8 petreles reproductius i de 6 femelles. La taula mostra el conjunt de senyes obtingudes per Furness.

Senyes obtingudes per Furness de la taxa metabòlica dels petreles del nort

Sexe	Taxa metabòlica	Sexe	Taxa metabòlica
Macho	525.8	Femella	727.7
Macho	605.7	Femella	1086.5
Macho	843.3	Femella	1091.0
Macho	1195.5	Femella	1361.3
Macho	1945.6	Femella	1490.5
Macho	2135.6	Femella	1956.1
Macho	2308.7
Macho	2950.0

La gràfica mostra la taxa metabòlica per a mascles i femelles. Per simple inspecció visual, sembla que la variabilitat de la taxa metabòlica és major per als mascles que per a les femelles.

La desviació estàndar de la mostra de la taxa metabòlica per a les femelles de petrer es calcula com s'explica a continuació. La fòrmula per a calcular la desviació estàndar de la mostra és

___*$s=\sqrt{\frac{\sum _{i=1}^N(x_i-\bar{x}{)}^2}{N-1}}.$

donde $\{x_1,x_2,\dots ,x_N\}$ són els valores observados dels elementos de la muestra, $\bar{x}$ es el valor medio d'estas observaciones, y N es el número d'observaciones de la muestra. En la fórmula de la desviación estándar de la muestra, per a este ejemplo, el numerador es la suma de les desviaciones al cuadrado de la tasa metabólica de cada animal respecte a la tasa metabólica media. La siguiente tabla muestra el cálculo d'esta suma de desviaciones al cuadrado per a els petreles hembra, cuya suma es de 886047.09, como se muestra en la tabla.

Cálculo de la suma de cuadrados per a les hembras de petrer

Animal	Sexo	Tasa metabólica	Media	Diferencia con la media	Diferencia con la media al cuadrado
1	Hembra	727.7	1285.5	-557.8	311140.84
2	Hembra	1086.5	1285.5	-199.0	39601.00
3	Hembra	1091.0	1285.5	-194.5	37830.25
4	Hembra	1361.3	1285.5	75.8	5745.64
5	Hembra	1490.5	1285.5	205.0	42025.00
6	Hembra	1956.1	1285.5	670.6	449704.36
Media de les tasas metabólicas:			1285.5	Suma de les diferencias al cuadrado:	886047.09

El denominador en la fórmula de la desviación estándar de la muestra es N-1, donde N es el número d'hembras. En este ejemplo, hay N = 6 hembras, por lo que el denominador es 6-1 = 5. Por lo tanto, la desviación estándar de la muestra per a els petreles hembra, es

$s=\sqrt{\frac{\sum _{i=1}^N(x_i-\bar{x}{)}^2}{N-1}}=\sqrt{\frac{886047.09}{5}}=\mathrm{420.69.}$

Per als petreles macho, un càlcul similar proporciona una mostra de desviació estàndar de 894.37, aproximadament el doble que la desviació estàndar per a les femelles. La gràfica mostra les senyes de la taxa metabòlica, les miges (punts rojos) i les desviacions estàndar (llínees roges) per a mascles i femelles.

L'us de la desviació estàndar de la mostra implica que estos 14 petreles són una mostra d'una població major. Si estos 14 petreles comprengueren tota la població (si foren els últims 14 petreles supervivents), llavors es podria parlar de la desviació estàndar de la població, en lloc de la desviació estàndar de la mostra. En la fòrmula de la desviació estàndar de la població, el denominador és N en lloc de N-1. No sempre és possible prendre mides d'una població completa, per lo que de manera predeterminada, les aplicacions informàtiques d'estadística solen calcular la desviació estàndar de la mostra (és dir, dividint per N-1). De manera similar, els artículs de revistes es referixen a la desviació estàndar de la mostra, a menos que s'especifique lo contrari.

Desviació estàndar poblacional de les calificacions d'huit alumnes

Suponga's que tota la població estudiada són huit alumnes determinats d'una classe en particular. Per a un conjunt discret de senyes, la desviació estàndar de la població es determina calculant la raïl quadrada de la mija de les desviacions dels valors restats del seu valor promig, elevades al quadrat. Les calificacions de la classe d'huit estudiants (és dir, de la població estadística completa) són els següents huit valors:

___*$2,4,4,4,5,5,7,9.$

Estos ocho datos tienen una media (promedio) de 5:

$\mu =\frac{2+4+4+4+5+5+7+9}{8}=5.$

En primer lugar, se calculan les desviaciones de cada dato respecte a la media, y se eleva al cuadrado el resultado de cada una:

$\begin{array}{ccc}(2-5{)}^2=(-3{)}^2=9& & (5-5{)}^2=0^2=0\\ (4-5{)}^2=(-1{)}^2=1& & (5-5{)}^2=0^2=0\\ (4-5{)}^2=(-1{)}^2=1& & (7-5{)}^2=2^2=4\\ (4-5{)}^2=(-1{)}^2=1& & (9-5{)}^2=4^2=16\end{array}$

la varianza es la media d'estos valores:

${\sigma }^2=\frac{9+1+1+1+0+0+4+16}{8}=4.$

y la desviación estándar de la población es igual a la raíz cuadrada de la varianza:

$\sigma =\sqrt{4}=2.$

Esta fòrmula és vàlida solament si els huit valors en els que es treballa formen la població completa. Si els valors, en canvi, anaren una mostra aleatòria extreta d'una gran població d'alumnes (per eixemple, varen anar 8 calificacions elegides a l'encert i independentment d'un cens de 2 millons d'alumnes), llavors el resultat s'obtindria dividint per 7 (que és N − 1) en lloc de per 8 (que és N) en el denominador de l'última fòrmula. En eixe cas, el resultat de la fòrmula original es denominaria la desviació estàndar de la mostra. Dividir per N - 1 en lloc de per N dona una estimació imparcial de la varianza d'una població més gran. Esta modificació es coneix com correcció de Bessel.

Desviació estàndar mostral de les edats de sis chiquets

Ací es mostra cóm calcular la desviació estàndar d'un conjunt de senyas. Les senyes representen l'edat dels membres d'un grup de chiquets: {4, 1, 11, 13, 2, 7}

1. Calcular el promig o mija aritmètica ___*$\bar{x}$

$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$

En este caso, n = 6:

$x_1=4$

$x_2=1$

$x_3=11$

$x_4=13$

$x_5=2$

$x_6=7$      Sustituyendo n por 6:

$\bar{x}=\frac{1}{6}\sum _{i=1}^6{x}_i$

$\bar{x}=\frac{1}{6}(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6)$

$\bar{x}=\frac{1}{6}(4+1+11+13+2+7)$

$\bar{x}=6,33$

2. Calcular la desviación estándar $s$

$s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}$      Sustituyendo n por 6:

$s=\sqrt{\frac{1}{5}\sum _{i=1}^6(x_i-\bar{x}{)}^2}$      Sustituyendo $\bar{x}$ por 6,33:

$s=\sqrt{\frac{1}{5}\sum _{i=1}^6(x_i-6,33{)}^2}$

$s=\sqrt{\frac{1}{5}[(4-6,33{)}^2+(1-6,33{)}^2+(11-6,33{)}^2+(13-6,33{)}^2+(2-6,33{)}^2+(7-6,33{)}^2]}$

$s=\sqrt{\frac{1}{5}[(-2,33{)}^2+(-5,33{)}^2+4,67^2+6,67^2+(-4,33{)}^2+0,67^2]}$

$s=\sqrt{\frac{1}{5}(5,43+28,41+21,81+44,49+18,75+0,45)}$

$s=\sqrt{\frac{119,34}{5}}$

$s=\sqrt{23,87}$

$s\approx 4,88$

Desviació estàndar de l'estatura mija d'hòmens adults

Si la població estudiada té una distribució aproximadament normal, la desviació estàndar proporciona informació sobre la proporció de les observacions que se situen per damunt o per baix de certs valors. Per eixemple, l'estatura mija dels hòmens adults en els Estats Units és d'aproximadament 177.8 cm, en una desviació estàndar d'al voltant de 7.62 cm. Açò significa que la majoria dels hòmens (al voltant del 68%, suponent un distribució normal) tenen una altura dins d'un interval de 7.62 cm al voltant de la mija (entre 170.18 i 185.42 cm) i que casi tots els hòmens (al voltant del 95%) tenen una altura dins dels 15.24 cm al voltant de la mija (entre 162.56 i 193.04 cm), un interval de dos desviacions estàndar de ràdio. Si la desviació estàndar fora zero, llavors tots els hòmens tindrien una altura d'exactament 177.8 cm (el valor mig). Si la desviació estàndar anara de 50.8 cm, llavors els hòmens tindrien altures molt més variables, en un ranc típic d'aproximadament entre 127 i 228.6 cm. Un interval de tres desviacions estàndar de radi representa el 99.7% de la població de la mostra que s'estudia, assumint que posseïx una distribució normal (en forma de campana). Consulte's la regla 68-95-99.7, o "regla empírica" per a obtindre més informació.

Definició dels valors d'una població

Provabilitat

Siga X una variable aleatòria en valor mig:

___*$\mathrm{E}[X]=\mu .$

Aquí el operador E denota el promedio o l'esperanza matemática de X. Entonces la desviación estándar de X es la cantidad

$\begin{array}{cc}\sigma & =\sqrt{\mathrm{E}[(X-\mu {)}^2]}\\ & =\sqrt{\mathrm{E}[X^2]+\mathrm{E}[-2\mu X]+\mathrm{E}[{\mu }^2]}\\ & =\sqrt{\mathrm{E}[X^2]-2\mu \mathrm{E}[X]+{\mu }^2}\\ & =\sqrt{\mathrm{E}[X^2]-2{\mu }^2+{\mu }^2}\\ & =\sqrt{\mathrm{E}[X^2]-{\mu }^2}\\ & =\sqrt{\mathrm{E}[X^2]-(\mathrm{E}[X]{)}^2}\end{array}$

(deduïda utilisant les propietats de la mija). En atres paraules, la desviació estàndar σ (σ) és la raïl quadrada de la varianza de X; és dir, és la raïl quadrada del valor promig de (X - μ)². La desviació estàndar d'una distribució de provabilitat (d'una variable) és la mateixa que la d'una variable aleatòria que té eixa distribució. No totes les variables aleatòries tenen una desviació estàndar, ya que estos valors no sempre existixen necessàriament. Per eixemple, la desviació estàndar d'una variable aleatòria que seguix una distribució de Cauchy no està definida, perque el seu valor esperat μ no està definit.

Desviació estàndar de distribucions de provabilitat conegudes

Distribució	Paràmetros	Descripció	Desviació típica
Distribució de Bernoulli	___*$p$	Distribución discreta de valor 0 con probabilidad $(1-p)$; y de valor $1$ con probabilidad $p$.	$\sigma =\sqrt{p(1-p)}$
Distribución binomial	$p$ y $n\in {\mathbb{N}}^{*}$	Distribución de la suma de $n$ variables independientes d'acuerdo con la distribución de Bernoulli de parámetro $p$.	$\sigma =\sqrt{np(1-p)}$
Distribución geométrica	$p$	Distribución discreta en $\mathbb{N}$, tal que la probabilidad d'obtener un número entero $n$ es $(1-p)p^n$.	$\sigma =\sqrt{\frac{1-p}{p^2}}$
Distribución uniforme continua	$a<b$	Distribución uniforme continua en $ℝ$, cuya densidad es un múltiplo de la función indicadora de $[a,b]$.	$\sigma =\frac{b-a}{\sqrt{12}}$
Distribución exponencial	$p$	Distribución uniforme continua con soporte ${ℝ}_{+}$, cuya densidad es la función $f:x\mapsto p\exp (-px)$.	$\sigma =\frac{1}{p}$
Distribución de Poisson	Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="1"> <mi>λ<!-- λ --></mi> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \scriptstyle \lambda }</annotation> </semantics> } $\lambda$	Distribución en $\mathbb{N}$, cuya densidad es la función $f:x\mapsto \exp (-\lambda )\frac{{\lambda }^x}{x!}$, en la que $\lambda \in {ℝ}_{+}$.	$\sigma =\sqrt{\lambda }$
Distribución χ²	Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="1"> <mi>n</mi> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \scriptstyle n}</annotation> </semantics> } e $n$	Distribución en ${ℝ}^{+}$, cuya densidad es la función $f:x\mapsto \frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma (\frac{n}{2})}{x}^{\frac{n}{2}-1}{e}^{-\frac{x}{2}}$ per a todo $x$ positiu, en la que $\Gamma$ es la función gamma.	$\sigma =\sqrt{2n}$
Distribución gamma	Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="1"> <mi>r</mi> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \scriptstyle n}</annotation> </semantics> } e $\alpha$, $r$ y $x$	Distribución de probabilidad continua, cuya densidad es la función $f(x;\alpha ,r)=\frac{\alpha }{\Gamma (r)}(\alpha x{)}^{r-1}{e}^{-\alpha x},$ per a todo $x$ positiu, en la que $\Gamma$ es la función gamma.	$\sigma =\frac{\sqrt{r}}{\alpha }$

La desviació estàndar d'una distribució de provabilitat d'una sola variable és igual a la desviació estàndar d'una variable aleatòria en la mateixa distribució. No totes les variables aleatòries tenen desviació estàndar, ya que els valors esperats poden no existir. Per eixemple, la desviació estàndar d'una variable que seguix una distribució de Cauchy és indefinida, perque el valor de la mija de la distribució és indefinida.

Estimació

Vore també: Varianza

Artícul principal → Estimació de la desviació estàndar no biaixada.

És possible trobar-se en la desviació estàndar d'una població completa en casos a on es coneix el valor de tots i cada u dels membres d'una població. En els casos en que açò no es pot fer (en general, per tractar-se en poblacions molt grans), la desviació estàndar σ s'estima examinant una mostra de la població presa aleatoriamente, i calculant un tractament estadístic de la mostra donada, que s'utilisa com una estimació de la desviació estàndar de la població. Dita estadística es denomina un estimador, i l'estimador (o el valor de l'estimador, a saber, l'estimació) es denomina desviació estàndar de la mostra i es denota en s (possiblement en modificadores). No obstant, a diferència del cas d'estimar la mija poblacional, per a la que la mija mostral és un estimador simple en moltes propietats desijables (sense biaix, eficient i en màxima provabilitat), no existix un estimador únic per a la desviació estàndar en totes estes propietats, i l'estimació de la desviació estàndar no biaixada és un problema en moltes implicacions tècniques. La majoria de les voltes, la desviació estàndar es calcula utilisant la desviació estàndar de la mostra corregida (usant N - 1, definida a continuació), i que a sovint es coneix simplement com la "desviació estàndar de la mostra", sense calificadores. No obstant, atres estimadors són millors en alguns aspectes: l'estimador no corregit (que usa N) produïx un error quadràtic mig més baix, mentres que l'us de N − 1.5 (per a una distribució normal) elimina el biaix casi per complet.

Desviació estàndar no corregida d'una mostra

La fòrmula per a la desviació estàndar d'una població (d'una població finita) es pot aplicar a la mostra, utilisant el tamany de la mostra com el tamany de la població (encara que el tamany real de la població de la que s'extrau la mostra siga molt més gran). Este estimador, denotat per s_N, es coneix com la desviació estàndar de la mostra no corregida, o algunes voltes com la desviació estàndar de la mostra (considerada com la població total), i es definix com seguix:

___*$s_N=\sqrt{\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N(x_i-\bar{x}{)}^2},$

donde $\{x_1,x_2,\dots ,x_N\}$ són els valores observados dels elementos de la muestra y $\bar{x}$ es el valor medio d'estas observaciones, mientras que el denominador N representa el tamaño de la muestra: esta es la raíz cuadrada de la varianza de la muestra, que es el promedio de les desviaciones al cuadrado respecte a la media muestral. Este es un estimador consistente (porque converge en probabilidad al valor de la población cuando el número de muestras llega al infinito), y posee la máxima verosimilitud estimada cuando la población está normalmente distribuida. Sin embargo, posee un sesgo estadístico, ya que el número d'observaciones es generalmente demasiado baix. El sesgo disminuye a medida que crece el tamaño de la muestra, disminuyendo como 1/N, y por lo tanto es más significatiu per a tamaños de muestra pequeños o moderados; per a $N>75$ el biaix és inferior al 1 %. Per lo tant, per a tamanys de mostra molt grans, la desviació estàndar de la mostra no corregida és generalment acceptable. Este estimador també té un error quadràtic mig uniformemente més chicotet que la desviació estàndar corregida de la mostra.

Desviació estàndar corregida d'una mostra

Si la varianza biaixada (el segon moment central de la mostra, que és una estimació biaixada cap a avall de la varianza de la població) s'utilisa per a calcular una estimació de la desviació estàndar de la població, el resultat és

___*$s_N=\sqrt{\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N(x_i-\bar{x}{)}^2}.$

Aquí, al tomar la raíz cuadrada se introduce un sesgo más cap a abajo, por la desigualdad de Jensen, debido a que la raíz cuadrada es una función cóncava. El sesgo en la varianza se corrige fácilmente, pero el sesgo de la raíz cuadrada es más difícil de corregir y depende de la distribución en cuestión. Se obté un estimador no sesgado de la varianza aplicando la correcció de Bessel, usando N − 1 en lugar de N per a obtener la varianza de la muestra no sesgada, denotada por s²:

$s^2=\frac{1}{N-1}\sum _{i=1}^N(x_i-\bar{x}{)}^2.$

Este estimador es insesgado si existe la varianza y els valores de la muestra se extraen independientemente en reemplazo (es decir, cada elemento de la muestra se devuelve a la población antes d'elegir el siguiente elemento). N - 1 corresponde al número de grados de libertad del vector de desviaciones de la media, $(x_1-\bar{x},\dots ,x_n-\bar{x}).$

Al calcular la raíz cuadrada se reintroduce un sesgo (porque la raíz cuadrada es una función no lineal, que no posee la propiedad commutativa en respecte a la media), lo que produce la desviación estándar de la muestra corregida, denotada por s:

$s=\sqrt{\frac{1}{N-1}\sum _{i=1}^N(x_i-\bar{x}{)}^2}.$

Como se explicó anteriormente, mientras que s² es un estimador no sesgado de la varianza poblacional, s sigue siendo un estimador sesgado per a la desviación estándar de la población, aunque es notablemente menos sesgado que la desviación estándar de la muestra no corregida. Este estimador se usa comúnmente y generalmente se conoce simplemente como la "desviación estándar de la muestra". El sesgo aún puede ser grande per a muestras pequeñas (N menor de 10). A medida que aumenta el tamaño de la muestra, el valor del sesgo disminuye. A medida que se dispone de más información, la diferencia entre $\frac{1}{N}$ y $\frac{1}{N-1}$ es fa cada volta més chicoteta.

Desviació estàndar no biaixada d'una mostra

Per a l'estimació de la desviació estàndar no biaixada, no existix una fòrmula que funcione en totes les distribucions, a diferència de lo que succeïx en la mija i en la varianza. En el seu lloc, s s'usa com a base i s'escala segons un factor de correcció per a produir una estimació no biaixada. Per eixemple, per a la distribució normal, un estimador no biaixat ve dau per s/c₄, a on el factor de correcció (que depén de N) es dona en térmens de la funció gamma, i és igual a:

___*$c_4(N)=\sqrt{\frac{2}{N-1}}\frac{\Gamma \left(\frac{N}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{N-1}{2}\right)}.$

Esto se debe a que la distribución de la desviación estándar de la muestra sigue una distribución χ (escalada), y el factor de correcció es la media de la distribución χ. Se puede dar una aproximación reemplazando N − 1 por N − 1.5, dando como resultado:

$\hat{\sigma }=\sqrt{\frac{1}{N-1.5}\sum _{i=1}^N(x_i-\overline{x}{)}^2},$

El error en esta aproximación decae de forma cuadrática (como 1/N²), y es adecuado per a todas les muestras, excepto les más pequeñas o cuando se requiere una precisión máxima: per a N = 3, el sesgo es igual al 1.3%, y per a N = 9 el sesgo ya es menor del 0.1%. Una aproximación más precisa es reemplazar el $N-1.5$ anterior por $N-1.5+1/(8(N-1))$. per a atres distribuciones, la fórmula correcta depende de la distribución, pero una regla d'oro es usar el refinamiento adicional de la aproximación:

$\hat{\sigma }=\sqrt{\frac{1}{N-1.5-\frac{1}{4}{\gamma }_2}\sum _{i=1}^N(x_i-\overline{x}{)}^2},$

a on γ₂ denota la curtosis de la població. L'excés de curtosis pot ser conegut de bestreta per a certes distribucions, o estimat a partir de les senyes.

Interval de confiança de la desviació estàndar d'una mostra

Vore també: Error mostral, Varianza, i Distribució t de Student

La desviació estàndar que s'obté d'una mostra d'una distribució no és del tot precisa, per raons matemàtiques (d'acort en l'interval de confiança) i per raons pràctiques de medició (error de medició). L'efecte matemàtic pot ser descrit pel interval de confiança o CI. Per a mostrar cóm una mostra més gran fa que l'interval de confiança siga més estret, consideren-se els següents eixemples:

Una chicoteta població de N = 2 té solament 1 grau de llibertat per a estimar la desviació estàndar. El resultat és que un IC del 95% de la desviació estàndar s'estén des de 0.45 × s a 31.9 × s; els factors són ací els següents:

___*$\mathrm{Pr}(q_{\alpha /2}<k\frac{s^2}{{\sigma }^2}<q_{1-\alpha /2})=1-\alpha ,$

donde $q_p$ es el p-cuantil de la distribución χ² con k grados de libertad, y $1-\alpha$ es el nivel de confianza. Esto es equivalente a lo siguiente:

$\mathrm{Pr}(k\frac{s^2}{q_{1-\alpha /2}}<{\sigma }^2<k\frac{s^2}{q_{\alpha /2}})=1-\alpha .$

Con k=1, $q_{0.025}=0.000982$ y $q_{0.975}=5.024$. Els recíprocs de les raïls quadrades d'estos dos números proporcionen els factors 0.45 i 31.9 daus anteriorment. Una població major de N = 10 té 9 graus de llibertat per a estimar la desviació estàndar. Els mateixos càlculs anteriors proporcionen en este cas un IC del 95%, que va des de 0.69 × SD a 1.83 × SD. Per lo tant, inclús en una població de 10 mostres, la desviació estàndar real pot ser casi dos voltes major que la de la mostra. Per a una població en una mostra de N = 100, açò es reduïx a 0.88 × SD a 1.16 × s. Per a estar més segurs de que la desviació estàndar de la mostra queda prop de la real, es necessita una mostra en un gran número de senyes. Estes mateixes fòrmules es poden usar per a obtindre intervals de confiança en la varianza dels residus d'un ajust per mínims quadrats segons la teoria normal estàndart, a on k seria el número de graus de llibertat de l'error.

Identitats i propietats matemàtiques

La desviació estàndar és invariante baix els canvis del orige de coordenades utilisat per a la pren de les senyes, i és directament proporcional sobre l'escala de la variable aleatòria. Per lo tant, per a una constant c i variables aleatòries X i I:

___*$\sigma (c)=0$

$\sigma (X+c)=\sigma (X),$

$\sigma (cX)=|c|\sigma (X).$

La desviación estándar de la suma de dos variables aleatorias se puede relacionar con sus desviaciones estándar individuals y la covarianza entre ellas:

$\sigma (X+Y)=\sqrt{\mathrm{var}(X)+\mathrm{var}(Y)+2\mathrm{cov}(X,Y)}.$

donde $\mathrm{var}={\sigma }^2$ y $\mathrm{cov}$ representan la varianza y la covarianza respectivamente. El cálculo de la suma de les desviaciones al cuadrado se puede relacionar con els momentos calculados directamente a partir dels datos. En la siguiente fórmula, la letra E se interpreta como el valor esperado, es decir, la media.

$\sigma (X)=\sqrt{\mathrm{E}[(X-\mathrm{E}[X]{)}^2]}=\sqrt{\mathrm{E}[X^2]-(\mathrm{E}[X]{)}^2}.$

La desviación estándar de la muestra se puede calcular como:

$s(X)=\sqrt{\frac{N}{N-1}}\sqrt{\mathrm{E}[(X-\mathrm{E}[X]{)}^2]}.$

per a una población finita con probabilidades iguals en todos els puntos, se tiene

$\sqrt{\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N(x_i-\bar{x}{)}^2}=\sqrt{\frac{1}{N}\left(\sum _{i=1}^N{x}_i^2\right)-(\bar{x}{)}^2}=\sqrt{\left(\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{x}_i^2\right)-{\left(\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{x}_i\right)}^2}.$

Açò significa que la desviació estàndar és igual a la raïl quadrada de la diferència entre el promig dels quadrats dels valors i el quadrat del valor promig. Consulte's la fòrmula de càlcul de la varianza per a un resultat anàlec en la desviació estàndar de la mostra.

Interpretació i aplicació

Vore també: Interval de predicció i Interval de confiança

Eixemple de mostres de dos poblacions en la mateixa mija pero en desviacions estàndar diferents. La població representada en roig té mija 100 i s 10; la blava té mija 100 i s 50

Una gran desviació estàndar indica que els punts de senyes poden estendre's llunt de la mija i una chicoteta desviació estàndar indica que estan agrupats prop de la mija. Per eixemple, cada una de les tres poblacions {0, 0, 14, 14}, {0, 6, 8, 14} i {6, 6, 8, 8} té una mija de 7. Les seues desviacions estàndar són 7, 5 i 1, Respectivament. La tercera població té una desviació estàndar molt més chicoteta que les atres dos perque els seus valors són tots propencs a 7. La desviació estàndar posseïx les mateixes unitats que les pròpies senyes. Si, per eixemple, el conjunt de senyes {0, 6, 8, 14} representa les edats d'una població de quatre germans en anys, la desviació estàndar és de 5 anys. Com un atre eixemple, la població {1000, 1006, 1008, 1014} pot representar les distàncies recorregudes per quatre atletes, mides en metros. Té una mija de 1007 metros i una desviació estàndar de 5 metros. La desviació estàndar pot servir com una mida d'incertitut. En física, per eixemple, la desviació estàndar d'un conjunt de medicions successives d'una mateixa magnitut (com per eixemple, de la velocitat de la llum), indica la precisió d'eixes medicions. En determinar si les medicions concorden en una predicció teòrica, la desviació estàndar d'eixes medicions és de crucial importància: si la mija de les medicions està massa alluntada de la predicció (en l'esta distancia mida segons la desviació estàndar), llavors la teoria que s'està provant provablement necessita ser revisada. Açò té sentit, ya que es troben fòra del ranc de valors que podrien esperar-se raonablement si la predicció fòra correcta i la desviació estàndar es quantificara adequadament (vejau interval de predicció). Si be la desviació estàndar determina en quina mida s'allunten les senyes de la mija, hi ha atres mides disponibles. Un eixemple és la desviació mija, que podria considerar-se una mida més directa de la distancia promig, en comparació a la raïl de les distàncies al quadrat inherent a la desviació estàndar.

Interpretació gràfica

Visualisació geomètrica de la varianza d'una distribució:
Image 1: Es construïx la distribució de freqüències.
Image 2: El centroide de la distribució proporciona la mija.
Image 3: Es construïx per a cada valor un quadrat el costat del qual és igual a la diferència de cada valor respecte a la mija.
Image 4: Es reorganisen els quadrats en un rectàngul en un costat igual al número ___*$n$ de valores, resultando el atre lado igual a la varianza de la distribución ${\sigma }^2$.

per a un conjunto de datos finito, la desviación estándar se calcula a partir de la raíz cuadrada de la media de les desviaciones entre els valores y el promedio dels valores dels datos elevado al cuadrado.

A continuación, se incluye el desarrollo numérico del ejemplo gráfico mostrado en la ilustración de la derecha:

Sean les notas de 8 estudiantes ($n=8$) 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9. La media de les notas dels 8 estudiantes es:

$\frac{2+4+4+4+5+5+7+9}{8}=5$. les desviaciones entre les notas y la media de les notas elevades al cuadrado són:

$\begin{array}{ccc}(2-5{)}^2=(-3{)}^2=9& & (5-5{)}^2=0^2=0\\ (4-5{)}^2=(-1{)}^2=1& & (5-5{)}^2=0^2=0\\ (4-5{)}^2=(-1{)}^2=1& & (7-5{)}^2=2^2=4\\ (4-5{)}^2=(-1{)}^2=1& & (9-5{)}^2=4^2=16.\end{array}$

La varianza o el promedio de todos els valores es:

$\frac{9+1+1+1+0+0+4+16}{8}=4$. La desviación estándar o la raíz cuadrada de la varianza es $\sqrt{4}=2$. Açò és, la desviació estàndar és igual a 2.

Interpretació geomètrica

Per a obtindre algunes idees i aclariments geomètrics, es planteja una població en tres valors, x₁, x₂ i x₃. Açò definix un punt P = (x₁, x₂, x₃) en R³. Considere's la recta L = {(r, r, r): r ∈ R}. Esta és la "diagonal principal" passant per l'orige. Si els tres valors donats anaren tots iguals, llavors la desviació estàndar seria zero i P estaria en L. Per lo tant, és llògic supondre que la desviació estàndar està relacionada en la distància de P sobre L. Eixe és de fet el cas. Per a desplaçar-se ortogonalmente des de L fins al punt P, es comença en el punt:

___*$M=(\bar{x},\bar{x},\bar{x})$

cuyas coordenades són la media dels valores de partida. Mediante un poco de álgebra, se demuestra que la distancia entre P y M (que es la misma que la distancia ortogonal entre P y la recta L) $\sqrt{\sum _i(x_i-\bar{x}{)}^2}$ és igual a la desviació estàndar del vector (x₁, x₂, x₃), multiplicat per la raïl quadrada del número de dimensions del vector (3 en este cas).

Eixemples d'aplicació

El valor pràctic de comprendre la desviació estàndar d'un conjunt de valors residix en apreciar el seu grau de variació sobre la mija.

Experiments, proves industrials i d'hipòtesis

La desviació estàndar a sovint s'usa per a comparar senyes del món real en un model per a provar el model. Per eixemple, en aplicacions industrials, el pes dels productes que ixen d'una llínea de producció pot necessitar complir en un valor llegalment requerit. En pesar alguna fracció dels productes, es pot determinar un pes promig, que sempre serà llaugerament diferent al promig a llarc determini. En utilisar la desviació estàndar, es pot calcular un valor mínim i màxim tals que el pes promig estarà dins en un percentage molt alt de les ocasions (un 99.9% o més). Si cau fòra del ranc, és possible que el procés de producció dega corregir-se. Proves estadístiques com estes són particularment importants quan l'obtenció de mides és relativament cara. Per eixemple, si el producte necessita ser obert i drenado per a pesar-se, o si el producte és alterat per la prova. En la ciència experimental, s'utilisa un model teòric de la realitat. Per eixemple, la física de partícules usa convencionalment un estàndart de "5 sigma" per a la declaració d'un descobriment. Un nivell de cinc sigma es traduïx en una possibilitat entre 3.5 millons de que una fluctuació aleatòria produïxca el resultat predit. Este nivell de certea era necessari per a afirmar que s'havia descobert una partícula consistent en el bosón d'Higgs en dos experiments independents realisats per l'Organisació Europea per a l'Investigació Nuclear, i est va ser també el nivell de rellevància que va dur a la declaració de la detecció d'ones gravitacionals per primera volta.

Meteorologia

Com a eixemple simple, consideren-se les temperatures màximes promig diàries de dos ciutats, una interior i una atra en la costa. És útil comprendre que el ranc de temperatures màximes diàries per a les ciutats propenques a la costa és menor que per a les ciutats de l'interior. Per lo tant, si be estes dos ciutats poden tindre la mateixa temperatura màxima promig, la desviació estàndar de la temperatura màxima diària per a la ciutat costera serà menor que la de la ciutat interior, ya que, en qualsevol dia en particular, la temperatura màxima real és més provable que se situe més llunt de la temperatura màxima promig en la ciutat interior que en la costera.

Finances

En finances, la desviació estàndar s'usa a sovint com una mida del risc associat en les fluctuacions de preu d'un actiu determinat (accions, abonaments, propietat, etc.), o en el risc d'una cartera d'actius (fondos mutus administrats activament, índex mutu de fondos, o fondos cotisats). El risc és un factor important per a determinar cóm administrar de manera eficient una cartera d'inversions perque determina la variació en els rendiments de l'actiu i/o la cartera i brinda als inversors una base matemàtica per a prendre decisions d'inversió (segons una disciplina coneguda com teoria moderna de carteres). El concepte fonamental de risc és que a mida que aumenta, el rendiment esperat d'una inversió també deuria aumentar, segons un aument conegut com la prima de risc. En atres paraules, els inversors deuen esperar un major rendiment d'una inversió quan eixa inversió comporta un major nivell de risc o incertitut. En evaluar les inversions, els inversors deuen estimar tant el rendiment esperat com l'incertitut dels rendiments futurs. La desviació estàndar proporciona una estimació quantificada de l'incertitut dels rendiments futurs. Per eixemple, supongase que un inversor té que elegir entre dos accions. Les accions A en els últims 20 anys varen tindre un rendiment promig del 10 per cent, en una desviació estàndar de 20 punts percentuals (pp) i les accions B, durant el mateix periodo, varen tindre rendiments promig del 12 per cent, pero una desviació estàndar més alta de 30 pp. Com a base del risc i la rendabilitat, un inversor pot decidir que l'acció A és l'opció més segura, ya que els dos punts percentuals adicionals de l'acció B no valen la desviació estàndar adicional de 10 pp (major risc o incertitut de la rendabilitat esperada). És provable que les accions B no alcancen l'inversió inicial (pero també que excedixquen l'inversió inicial) en major freqüència que les accions A en les mateixes circumstàncies, i s'estima que en promig solament retornaran un dos per cent més. En este eixemple, s'espera que l'acció A guanye al voltant del 10 per cent, més o menys 20 pp (un ranc del 30 per cent al -10 per cent), aproximadament dos terços dels rendiments de l'any futur. En considerar rendiments o resultats més extrems en el futur, un inversor deu esperar resultats de fins a un 10 per cent més o menys 60 pp, o un ranc del 70 per cent al 50 per cent, que inclou els resultats en un ranc de tres desviacions estàndar del rendiment promig (al voltant del 99.7 per cent dels rendiments provables). El càlcul del promig (o mija aritmètica) del rendiment d'un valor en un periodo determinat generarà el rendiment esperat de l'actiu. Per a cada periodo, es resta el rendiment esperat dels resultats reals en respecte de la mija. En elevar al quadrat la diferència en cada periodo i prendre el promig, s'obté la varianza general del rendiment de l'actiu. Quant major siga la variació, major serà el risc que comporta. Calculant la raïl quadrada d'esta variació s'obté la desviació estàndar de la ferramenta d'inversió en qüestió. Se sap que les séries temporals financeres són séries no estacionarias, mentres que els càlculs estadístics anteriors, com la desviació estàndar, s'apliquen solament a les séries estacionarias. Per a aplicar les ferramentes estadístiques anteriors a les séries no estacionarias, la série primer deu transformar-se en una série estacionaria, permetent l'us de ferramentes estadístiques en una base vàlida des de la que poder treballar en térmens homogéneus.

Regles per a senyes en una distribució normal

El color blau obscur representa l'interval de la desviació estàndar a abdós costats de la mija. Per a la distribució normal, açò representa el 68.27 per cent del conjunt; mentres que dos desviacions estàndar de la mija (blava mig i obscur) representen 95.45 per cent; tres desviacions estàndar (blava clar, mig i obscur) representen el 99.73 per cent; i quatre desviacions estàndar representen el 99.994 per cent. Els dos punts de la curva situats a una desviació estàndar de la mija són també els punts d'inflexió de la gràfica.

Teorema dellímit central

Artícul principal → Teorema dellímit central.

el teorema dellímit central establix que la distribució d'un promig de moltes variables aleatòries independents i idénticamente distribuïdes tendix cap a la famosa distribució normal en forma de campana en una funció de densitat de provabilitat de

___*$f(x;\mu ,{\sigma }^2)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)}^2}$

donde μ es l'esperanza matemática de les variables aleatorias, σ equivale a la desviación estándar de su distribución dividida por n^1/2, y n es el número de variables aleatorias. Por lo tanto, la desviación estándar es simplemente una variable d'escala que ajusta la amplitut de la curva, aunque también aparece en la constante de normalisació. Si una distribución de datos es aproximadamente normal, entonces la proporción de valores de datos dentro de z desviaciones estándar de la media, se define por:

$\text{Proporción}=\mathrm{erf}\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)$

donde $\mathrm{erf}$ es la función error. La proporción que es menor o igual a un número, x, viene dada por la función de distribución:

$\text{Proporción}\le x=\frac{1}{2}[1+\mathrm{erf}\left(\frac{x-\mu }{\sigma \sqrt{2}}\right)]=\frac{1}{2}[1+\mathrm{erf}\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)]$

Si una distribució de senyes és aproximadament normal, prop del 68 per cent dels valors de les senyes estaran dins d'una desviació estàndar de la mija (matemàticament, μ ± σ, a on μ és la mija aritmètica), de l'orde del 95 per cent estaran dins de dos desviacions estàndar, i entorn a un 99.7 per cent estaran dins de tres desviacions estàndar (3σ ). Açò es coneix com la regla 68-95-99.7, o la regla empírica. Per a varis valors de z, el percentage de valors que s'espera que es troben dins i fòra de l'interval simètric, CI = (-zσ, zσ), són els següents:

Percentage dins de (z)

z per al percentage comprés

Interval de Confiança	Proporció dins	Proporció fòra
	Percentage	Percentage	Fracció
0.318 639 σ	25 %	75 %	3 / 4
0,674490 σ	50 %	50 %	1 / 2
0,994458 σ	68 %	32 %	1 / 3,125
1 σ	68,2689492 %	31,7310508 %	1 / 3,1514872
1,281552 σ	80 %	20 %	1 / 5
1,644854 σ	90 %	10 %	1 / 10
1,959964 σ	95 %	5 %	1 / 20
2 σ	95,4499736 %	4,5500264 %	1 / 21,977895
2,575829 σ	99 %	1 %	1 / 100
3 σ	99,7300204 %	0,2699796 %	1 / 370,398
3,290527 σ	99,9 %	0,1 %	1 / 1000
3,890592 σ	99,99 %	0,01 %	1 / 10 000
4 σ	99,993666 %	0,006334 %	1 / 15 787
4,417173 σ	99,999 %	0,001 %	1 / 100 000
4.5 σ	99,9993204653751 %	0,0006795346249 %	3.4 / 1 000 000 (1.7/1 000 000 a cada costat de la mija)
4,891638 σ	99,9999 %	0,0001 %	1 / 1 000 000
5 σ	99,9999426697 %	0,0000573303 %	1 / 1 744 278
5,326724 σ	99,99999 %	0,00001 %	1 / 10 000 000
5,730729 σ	99,999999 %	0,000001 %	1 / 100 000 000
6 σ	99,9999998027 %	0,0000001973 %	1 / 506 797 346
6,109410 σ	99,9999999 %	0,0000001 %	1 / 1 000 000 000
6,466951 σ	99,99999999 %	0,00000001 %	1 / 10 000 000 000
6,806502 σ	99,999999999 %	0,000000001 %	1 / 100 000 000 000
7 σ	99,9999999997440 %	0,000000000256 %	1 / 390 682 215 445

Desigualtat de Chebyshov

Regions de provabilitat dels intervals de la desigualtat de Chebyshov en una distribució simètrica

Artícul principal → Desigualtat de Chebyshov.

Una observació qualsevol rara volta se situa a més d'unes poques desviacions estàndar de la mija. la desigualtat de Chebyshov garantisa que, per a totes les distribucions per a les que es definix la desviació estàndar, la cantitat de senyes dins d'una série de desviacions estàndar de la mija és a lo manco la que s'indica en la següent taula.

Distància respecte a la mija	Població mínima compresa
___*$\sqrt{2}\sigma$	50%
2σ	75%
3σ	89%
4σ	94%
5σ	96%
6σ	97%
$k\sigma$	$1-\frac{1}{k^2}$
$\frac{1}{\sqrt{1-\ell }}\sigma$	$\ell$

Relació entre la desviació estàndar i la mija

En estadística descriptiva, la mija i la desviació estàndar d'un conjunt de senyes són generalment facilitades juntes. En cert sentit, la desviació estàndar és una mida "natural" de les mides de dispersió si el centre de les senyes es medix al voltant de la mija. Açò es deu a que la desviació estàndar respecte a la mija és menor que des de qualsevol atre punt. La declaració precisa és la següent:

Suponga's que x₁, ..., x_n són número real i es definix la funció:

___*$\sigma (r)=\sqrt{\frac{1}{N-1}\sum _{i=1}^N(x_i-r{)}^2}$

Usando el cálculo infinitesimal o completando el cuadrado, es posible demostrar que σ(r) tiene un mínimo único en la media:

$r=\bar{x}.$

La variabilitat també pot medir-se per mig del coeficient de variació, que és la relació de la desviació estàndar sobre la mija. És una magnitut adimensional.

Desviació estàndar de la mija

Artícul principal → Error estàndar.

A sovint, es requerix informació sobre la precisió de la mija obtinguda. Este paràmetro es pot obtindre determinant la desviació estàndar de la mija de la mostra. Suponent una independència estadística dels valors de la mostra, la desviació estàndar de la mija està relacionada en la desviació estàndar de la distribució per:

___*${\sigma }_{\text{media}}=\frac{1}{\sqrt{N}}\sigma$

donde N es el número d'observaciones de la muestra utilizada per a estimar la media. Esto se puede probar fácilmente con (véanse les propiedades básicas de la varianza):

$\begin{array}{cc}\mathrm{var}(X)& \equiv {\sigma }_X^2\\ \mathrm{var}(X_1+X_2)& \equiv \mathrm{var}(X_1)+\mathrm{var}(X_2)\\ \end{array}$

(se supone la independencia estadística dels datos).

$\begin{array}{cc}\mathrm{var}(c{X}_1)& \equiv c^2\mathrm{var}(X_1)\end{array}$

por lo tanto

$\begin{array}{cc}\mathrm{var}(\text{media})& =\mathrm{var}\left(\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{X}_i\right)=\frac{1}{N^2}\mathrm{var}\left(\sum _{i=1}^N{X}_i\right)\\ & =\frac{1}{N^2}\sum _{i=1}^N\mathrm{var}(X_i)=\frac{N}{N^2}\mathrm{var}(X)=\frac{1}{N}\mathrm{var}(X).\end{array}$

d'aquí se deduce que:

${\sigma }_{\text{media}}=\frac{\sigma }{\sqrt{N}}.$

Se debe enfatizar que per a estimar la desviación estándar de la media ${\sigma }_{\text{media}}$ es necesario conocer d'antemano la desviación estándar de toda la población $\sigma$. No obstant, en la majoria de les aplicacions este paràmetro és desconegut. Per eixemple, si es realisa una série de 10 medicions d'una cantitat prèviament desconeguda en un laboratori, és possible calcular la mija de la mostra resultant i la desviació estàndar de la mostra, pero és impossible calcular la desviació estàndar de la mija.

Métodos de càlcul ràpit

Vore també: Algoritmes per a calcular la varianza

Les dos fòrmules següents permeten calcular una desviació estàndar agregant senyes. Un conjunt de dos sumixques de potències s₁ i s₂ es calculen sobre un conjunt de N valores de x, denotat com a x₁, ... , x_N:

___*$s_j=\sum _{k=1}^N{x}_k^j$

Dados els resultados d'estas sumas en ejecución, els valores N, s₁, s₂ se pueden usar en cualquier momento per a calcular el valor actual de la desviación estándar d'ejecución:

$\sigma =\frac{\sqrt{N{s}_2-s_1^2}}{N}$

Donde N, como se mencionó anteriormente, es el tamaño del conjunto de valores (o también puede considerarse como s₀). Del misme modo, per a la desviación estándar de la muestra,

$s=\sqrt{\frac{N{s}_2-s_1^2}{N(N-1)}}$

En un programa d'ordenador, a medida que les sumas de tres s_j se hacen grandes, se debe considerar l'error de redondeo y el desbordamiento aritmético (por rebosamiento de grandes cantidades o por la pérdida de la mantisa). El siguiente método calcula el método de les sumas con errores de redondeo reducidos. Se trata d'un algoritmo de "una pasada" per a calcular la varianza de n muestras sin la necesidad d'almacenar els datos anteriors durante el cálculo. La aplicación d'este método a una serie devuelve valores sucesivos de la desviación estándar correspondiente a n datos a medida que n crece con cada nueva muestra, en lugar d'un cálculo que requiera analizar en su totalidad el nuevo conjunto de datos. per a k = 1, ..., n:

$\begin{array}{cc}{A}_0& =0\\ A_k& =A_{k-1}+\frac{x_k-A_{k-1}}{k}\end{array}$

donde A es el valor medio.

$\begin{array}{cc}{Q}_0& =0\\ Q_k& =Q_{k-1}+\frac{k-1}{k}(x_k-A_{k-1}{)}^2=Q_{k-1}+(x_k-A_{k-1})(x_k-A_k)\\ \end{array}$

Nota: $Q_1=0$ desde $k-1=0$ o $x_1=A_1$

Varianza de la muestra:

$s_n^2=\frac{Q_n}{n-1}$

Varianza de la población:

${\sigma }_n^2=\frac{Q_n}{n}$