Desigualtat de Chebyshov

En provabilitat, la desigualtat de Chebyshov (també escrit de Chebychev) és un resultat que oferix una cota inferior a la provabilitat de que el valor d'una variable aleatòria en varianza finita estiga a una certa distància de la seua esperança matemàtica. La desigualtat rep el seu nom del matemàtic rus Pafnuti Chebyshov.

En la lliteratura, a este tipo de desigualtats, que la seua característica és la comparació de la provabilitat de la coa de la distribució i el seu valor esperat, se li coneix com a desigualtats tipo Chebyshov.

Estes desigualtats són la ferramenta bàsica per a demostrar resultats com la llei dels grans números, entre uns atres. Ademés de que tenen aplicacions en estadística, aixina com en atres àrees de les matemàtiques i en branques de la física com la física estadística.

Història

La teorema es diu aixina pel matemàtic rus Pafnuty Chebyshev, a pesar de que va ser formulada per primera volta per Irénée-Jules Bienaymé. La teorema va ser enunciada primer sense proves per Bienaymé en 1853 i posteriorment provat per Chebyshev en 1867. El seu estudiant Andrey Markov va proporcionar una atra prova més en 1884 en la seua tesis doctoral.

Formulació

Siga $X$ una variable aleatòria no negativa i una funció $f:ℝ⟶{ℝ}_{+}$ creixent tal que $𝔼\left[f\left(X\right)\right]<+\mathrm{\infty }$. Llavors $\mathrm{\forall }a\in ℝ$ es dona la desigualtat següent:

Casos particulars de la desigualtat

Algunes formulació menys generals que es desprenen de la primera són les següents:

• Siga $X$ variable aleatòria en moment d'orde $k$ finit, llavors

$\mathbb{P}(X\ge a)\le \frac{𝔼\left[{\left|X\right|}^k\right]}{a^k}$

sent $a>0$ i $f\left(X\right)={\left|X\right|}^k$ .

• Siga $X$ en moment centrat d'orde $2$ finit, llavors

$\mathbb{P}(|X-𝔼\left(X\right)|\ge a)\le \frac{\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}\left(X\right)}{a^2}$

sent $Y=|X-𝔼\left(X\right)|$, $f\left(Y\right)=Y^2$, i $𝔼\left(Y^2\right)=E\left({|X-𝔼\left(X\right)|}^2\right)=\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)$ .

• Siga $X$ variable aleatòria de mija $\mu$ i varianza finita ${\sigma }^2$, llavors, per a tot número real $a>0$,

$\mathbb{P}(|X-\mu |>a\sigma )\le \frac{1}{a^2}.$

Només en cas que $a>1$ la desigualtat proporcionen una cota no trivial.

Vore també

• Desigualtat de Márkov
• Desigualtat de Hoeffding