Covarianza

En provabilitat i estadística, la covarianza és un valor que indica el grau de variació conjunta de dos variables aleatòries respecte a les seues miges. És la senya bàsica per a determinar si existix una dependència entre abdós variables i ademés és la senya necessària per a estimar atres paràmetros bàsics, com el coeficient de correlació llineal o la recta de regressió.

Interpretació

Quan els valors alts d'una de les variables solen majoritàriament correspondre's en els valors alts de l'atra, i lo mateixa es verifica per als menuts valors d'una en els de l'atra, es corrobora que tendixen a mostrar comportament similar lo que es reflectix en un valor positiu de la covarianza
Pel contrari, quan els valors alts d'una variable solen correspondre majoritàriament als menors valors de l'atra, expressant un comportament opost, la covarianza és negativa.

El signe de la covarianza, per lo tant, expressa la tendència en la relació llineal entre les variables.
La magnitut requerix un esforç adicional d'interpretació:
La versió normalisada de la covarianza, el coeficient de correlació indica la magnitut de la especificidad de la relació llineal.

Es deu distinguir entre:
(1) La covarianza de dos variables aleatòries, paràmetro estadístic d'una població considerat una propietat de la distribució conjunta
(2) La covarianza mostra que s'ampra com un valor estadísticament estimat és una de les principals causes o motius de la covarianza.

Definició

La covarianza entre dos variables aleatòries $X$ i $Y$ es definix com

$\mathrm{Cov}(X,Y)=\mathrm{E}[(X-\mathrm{E}[X])(Y-\mathrm{E}[Y])],$

sempre que $\mathrm{E}[X]$, $\mathrm{E}[Y]$ i $\mathrm{E}[XY]<\mathrm{\infty }$, a on $\mathrm{E}[X]$, $\mathrm{E}[Y]$ i $\mathrm{E}[XY]$ denota els valors esperats de les variables aleatòries $X$, $Y$ i $XY$ respectivament. Com l'esperança és un operador llineal llavors l'expressió anterior es pot escriure d'una atra forma

$\begin{array}{cc}\mathrm{Cov}(X,Y)& =\mathrm{E}\left[(X-\mathrm{E}\left[X\right])(Y-\mathrm{E}\left[Y\right])\right]\\ & =\mathrm{E}[XY-X\mathrm{E}\left[Y\right]-\mathrm{E}\left[X\right]Y+\mathrm{E}\left[X\right]\mathrm{E}\left[Y\right]]\\ & =\mathrm{E}\left[XY\right]-\mathrm{E}\left[X\right]\mathrm{E}\left[Y\right]-\mathrm{E}\left[X\right]\mathrm{E}\left[Y\right]+\mathrm{E}\left[X\right]\mathrm{E}\left[Y\right]\\ & =\mathrm{E}\left[XY\right]-\mathrm{E}\left[X\right]\mathrm{E}\left[Y\right].\end{array}$

Variables Aleatòries Discretes

Si les variables aleatòries $X$ i $Y$ poden prendre els valors $x_i$ i $y_i$ per a $i=1,2,\dots ,n$ en provabilitat $\mathrm{P}[X=x_i]=1/n$ i $\mathrm{P}[Y=y_i]=1/n$ respectivament llavors la covarianza pot ser expressada en térmens de $\mathrm{E}[X]$ i $\mathrm{E}[Y]$ com

$\mathrm{Cov}(X,Y)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\mathrm{E}[X])(y_i-\mathrm{E}[Y])$

o expressades com

$\mathrm{Cov}(X,Y)=\frac{1}{2n^2}\sum _{i=2}^n\sum _{j=1}^n(x_i-x_j)(y_i-y_j)$

Cas Multivariado

Si $𝐗$ és un vector aleatori de dimensió $n$, és dir, $𝐗=(X_1,\dots ,X_n{)}^t$ a on $X_i$ per a $i=1,2,\dots ,n$ són variables aleatòries, la matriu d'covarianza, denotada per $\Sigma$, està donada per

$\Sigma =\left(\begin{array}{cccc}\mathrm{Cov}(X_1,X_1)& \mathrm{Cov}(X_1,X_2)& \cdots & \mathrm{Cov}(X_1,X_n)\\ \mathrm{Cov}(X_2,X_1)& \mathrm{Cov}(X_2,X_2)& \cdots & \mathrm{Cov}(X_2,X_n)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \mathrm{Cov}(X_n,X_1)& \mathrm{Cov}(X_n,X_2)& \cdots & \mathrm{Cov}(X_n,X_n)\end{array}\right)$

és dir, la $(i,j)$-ésima entrada de $\Sigma$ correspon a la covarianza entre $X_i$ i $X_j$ que pot ser representada com

${\Sigma }_{ij}=\mathrm{Cov}(X_i,X_j)$

en particular, quan $i=j$, llavors

${\Sigma }_{ii}=\mathrm{Cov}(X_i,X_i)=\mathrm{Var}(X_i)$

per lo que la matriu $\Sigma$ pot ser escrita com

$\Sigma =\left(\begin{array}{cccc}\mathrm{Var}(X_1)& \mathrm{Cov}(X_1,X_2)& \cdots & \mathrm{Cov}(X_1,X_n)\\ \mathrm{Cov}(X_2,X_1)& \mathrm{Var}(X_2)& \cdots & \mathrm{Cov}(X_2,X_n)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \mathrm{Cov}(X_n,X_1)& \mathrm{Cov}(X_n,X_2)& \cdots & \mathrm{Var}(X_n)\end{array}\right)$

Vore també

• Esperança matemàtica
• Varianza
• Regressió llineal
• Coeficient de correlació
• ANOVA o anàlisis de la varianza