Integral de Gauss

En matemàtiques, la integral de Gauss, integral gaussiana o integral de provabilitat, és l'integral impròpia de la funció gaussiana $f (x) = e^{{- x}^{2}}$ sobre tota la recta dels número real. Deu el seu nom al matemàtic i físic alemà Carl Friedrich Gauss, i el seu valor és:

\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x = \sqrt{π}

Esta integral té àmplies aplicacions, incloent normalisació, en teoria de la provabilitat i transformada contínua de Fourier. També apareix en la definició de la funció error. No existix cap funció elemental per a la funció error, com es pot demostrar per mig del algoritme de Risch, per lo que l'integral Gaussiana no pot ser resolta analíticamente en les ferramentes del càlcul. O siga, no existix una integral indefinida elemental para

\int e^{- x^{2}} d x

pero sí és possible evaluar l'integral definida

\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x

.

Càlcul de l'Integral

Coordenades Polars

La forma més comuna de calcular l'integral de Gauss és per mig d'integració doble en el sistema cartesiano de coordenades, per a despuix fer un canvi de coordenades a coordenades polars i calcular el valor. Es procedix de la següent manera:

Es definix

ℐ = \int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x

com l'integral que volem calcular. Podem definir $ℐ^{2}$ com el producte de l'integral $ℐ$ en ella mateixa i per mig del Teorema de Fubini podem expressar l'integral com

\begin{matrix} ℐ^{2} & = (\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x)^{2} \\ = \int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x \cdot \int_{- \infty}^{\infty} e^{- y^{2}} d y \\ = \int_{- \infty}^{\infty} (\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x) e^{- y^{2}} d y \\ = \int_{- \infty}^{\infty} (\int_{- \infty}^{\infty} e^{- (x^{2} + y^{2})} d x) d y \\ = \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- (x^{2} + y^{2})} d x d y \\ = \iint_{ℝ^{2}} e^{- (x^{2} + y^{2})} d x d y . \end{matrix}

Procedim a realisar un canvi de variables a coordenades a polars:

\begin{matrix} \iint_{ℝ^{2}} e^{- (x^{2} + y^{2})} d x d y & = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{\infty} r e^{- r^{2}} d r d θ \\ = \int_{0}^{2 π} d θ \int_{0}^{\infty} r e^{- r^{2}} d r \\ = 2 π \int_{0}^{\infty} r e^{- r^{2}} d r \\ = 2 π \int_{- \infty}^{0} \frac{1}{2} e^{s} d s \\ = π \int_{- \infty}^{0} e^{s} d s \\ = π (e^{0} - \lim_{t \to - \infty} e^{t}) \\ = π (1 - 0) \\ = π \end{matrix}

a on el factor $r$ és conseqüència de calcular el determinant del canvi de variable de coordenades cartesianas a polars, i $s$ apareix en fer un canvi de variable tal que $s = - r^{2}$ , $d s = - 2 r d r$ . Aixina obtenim

ℐ^{2} = {(\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x)}^{2} = \iint_{ℝ^{2}} e^{- (x^{2} + y^{2})} d x d y = π

per lo tant

ℐ = \int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x = \sqrt{π}

Coordenades Cartesianas

Una tècnica diferent per a calcular el valor de l'integral gaussiana és la següent.

Comencem definint

ℐ = \int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x

per lo que

ℐ^{2} = {(\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x)}^{2}

Notem que l'integrant, és dir $f (x) = e^{- x^{2}}$ , és una funció parell per lo que

\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x = 2 \int_{0}^{\infty} e^{- x^{2}} d x

llavors

ℐ^{2} = 4 \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} e^{- (x^{2} + y^{2})} d y d x

Siga

\begin{matrix} y & = x s \\ d y & = x d s \end{matrix}

llavors

\begin{matrix} ℐ^{2} & = 4 \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} e^{- (x^{2} + y^{2})} d y d x \\ = 4 \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} e^{- (x^{2} + x^{2} s^{2})} x d s d x \\ = 4 \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} e^{- x^{2} (1 + s^{2})} x d s d x \\ = 4 \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} e^{- x^{2} (1 + s^{2})} x d x d s \\ = 4 \int_{0}^{\infty} [{\frac{- 1}{2 (1 + s^{2})} e^{- x^{2} (1 + s^{2})} |}_{x = 0}^{x = \infty}] d s \\ = 4 [\frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} \frac{d s}{1 + s^{2}}] \\ = 2 \arctan s |_{0}^{\infty} \\ = π \end{matrix}

Per lo tant

ℐ = \int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x = \sqrt{π}

Método de Feynman

Una atra forma de calcular l'integral seria usant el truc de Feynman o derivació baix el signe integral

Definim:

$ℐ = \int_{0}^{\infty} e^{- x^{2}} d x$

ya que $e^{- x^{2}}$ és una funció parell, podem afirmar que

$2 ℐ = \int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x$

Ara definim la següent funció auxiliar

$F (t) = \int_{0}^{\infty} \frac{e^{- t^{2} (x^{2} + 1)}}{x^{2} + 1} d x$

llavors

$F (+ \infty) = 0$

$F (0) = \int_{0}^{\infty} \frac{e^{- 0^{2} (x^{2} + 1)}}{x^{2} + 1} d x = \int_{0}^{\infty} \frac{e^{0}}{x^{2} + 1} d x = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^{2} + 1} = \frac{π}{2}$

Derivem la funció

$\frac{d}{d t} F (t) = \frac{d}{d t} \int_{0}^{\infty} \frac{e^{- t^{2} (x^{2} + 1)}}{x^{2} + 1} d x = \int_{0}^{\infty} \frac{d}{d t} (\frac{e^{- t^{2} (x^{2} + 1)}}{x^{2} + 1}) d x = \int_{0}^{\infty} \frac{e^{- t^{2} (x^{2} + 1)} (- 2 t (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1} d x = - 2 t \int_{0}^{\infty} e^{- t^{2} (x^{2} + 1)} d x$

$= - 2 t \int_{0}^{\infty} e^{- t^{2} x^{2} - t^{2}} d x = - 2 t \int_{0}^{\infty} e^{- (t x)^{2}} e^{- t^{2}} d x = - 2 t e^{- t^{2}} \int_{0}^{\infty} e^{- (t x)^{2}} d x$

Fent el canvi de variable

$\begin{matrix} u & = x t \\ d u & = t d x \Rightarrow d x = \frac{1}{t} d u \end{matrix}$

Llavors

$- 2 t e^{- t^{2}} \int_{0}^{\infty} e^{- (t x)^{2}} d x = - 2 t e^{- t^{2}} \int_{0}^{\infty} e^{- u^{2}} \frac{1}{t} d u = - 2 e^{- t^{2}} \int_{0}^{\infty} e^{- u^{2}} d u = - 2 e^{- t^{2}} ℐ$

En resum

$F^{'} (t) = - 2 e^{- t^{2}} ℐ$

Ara calculem la següent integral aplicant el teorema fonamental del càlcul i els resultats anteriorment calculats

$\int_{0}^{\infty} F^{'} (t) d t = F (t) |_{t = 0}^{t = + \infty} = F (+ \infty) - F (0) = 0 - \frac{π}{2} = - \frac{π}{2}$

Pero per un atre costat també podem dir que

$\int_{0}^{\infty} F^{'} (t) d t = \int_{0}^{\infty} - 2 e^{- t^{2}} ℐ d t = - 2 ℐ \int_{0}^{\infty} e^{- t^{2}} d t = - 2 ℐ^{2}$

Llavors

$\begin{matrix} - 2 ℐ^{2} = - \frac{π}{2} \\ ℐ = \pm \frac{\sqrt{π}}{2} \end{matrix}$

Com l'integral d'una funció positiva no pot donar negativa, prenem el valor positiu,

$ℐ = \frac{\sqrt{π}}{2}$

$2 ℐ = \sqrt{π}$

Pero recordant lo dit anteriorment

$2 ℐ = \int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x$

Per lo tant

$\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x = \sqrt{π}$

Relació en la funció Gamma

La funció gamma està donada per

Γ (α) = \int_{0}^{\infty} t^{α - 1} e^{- t} d t

i un resultat destacat d'esta funció és quan $α = 1 / 2$ puix

Γ (\frac{1}{2}) = \sqrt{π}

considerant este resultat vejam quina relació té en l'integral gaussiana, comencem considerant que

\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x = 2 \int_{0}^{\infty} e^{- x^{2}} d x

puix $f (x) = e^{- x^{2}}$ una funció parell.

En fer el canvi de variable $t = x^{2}$ obtenim

\begin{matrix} x & = t^{1 / 2} \\ d x & = \frac{1}{2} t^{- 1 / 2} d t \end{matrix}

llavors

\begin{matrix} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x & = 2 \int_{0}^{\infty} e^{- x^{2}} d x \\ = 2 \int_{0}^{\infty} e^{- t} (\frac{1}{2} t^{- 1 / 2}) d t \\ = \int_{0}^{\infty} e^{- t} t^{- 1 / 2} d t \\ = \int_{0}^{\infty} t^{(1 - \frac{1}{2}) - 1} e^{- t} d t \\ = Γ (1 - \frac{1}{2}) \\ = Γ (\frac{1}{2}) \\ = \sqrt{π} \end{matrix}

Açò mostra per qué el factorial de la mitat d'un sancer és un número irracional múltiple de $\sqrt{π}$ , més generalment

\int_{0}^{\infty} e^{- a x^{b}} d x = \frac{1}{b \cdot a^{\frac{1}{b}}} Γ (\frac{1}{b}) .

Vore també

Referències

Gaussian Integral en MathWorld.

Este artícul conté una traducció derivada de «Integral de Gauss» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.