Teorema de Fubini

En matemàtiques la teorema de Fubini, cridat aixina en honor del matemàtic italià Guido Fubini, afirma que si:

$\underset{A\times B}{\int }|f(x,y)|d(x,y)<\mathrm{\infty },$

l'integral respecte al producte cartesiano de dos intervals en l'espai

$A\times B$

pot ser escrita com:

$\underset{A}{\int }(\underset{B}{\int }f(x,y)dy)dx=\underset{B}{\int }(\underset{A}{\int }f(x,y)dx)dy=\underset{A\times B}{\int }f(x,y)d(x,y),$

Les primeres dos integrals són simples, mentres que la tercera és una integral en el producte de dos intervals.

Per una atra part si:

$f(x,y)=f(x)g(y)$

llavors:

$\underset{A}{\int }f(x)dx\underset{B}{\int }g(y)dy=\underset{A\times B}{\int }f(x)g(y)d(x,y)$

Per lo tant l'integral doble és reducible al producte de dos integrals simples.

Si la série $\sum _{i\ge 1,j\ge 1}{a}_{i,j}$ convergix absolutemente, les relacions

$\sum _{i\ge 1,j\ge 1}{a}_{i,j}=\sum _{i\ge 1}\left(\sum _{j\ge 1}{a}_{i,j}\right)=\sum _{j\ge 1}\left(\sum _{i\ge 1}{a}_{i,j}\right)$

són vàlides. També es diu el "teorema de Fubini".

Aplicacions

Integral de Gauss

Una aplicació de la teorema de Fubini és l'evaluació de la "integral de Gauss" (també cridada "integral gaussiana" o "integral de provabilitat"), la qual és base d'una gran part de la teoria de provabilitat:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }.$

Per a vore cóm és usat el "teorema de Fubini" per a provar este important resultat, vore l'integral de Gauss.

Vore també

• Principi de Cavalieri (un cas particular de la teorema de Fubini).