Algoritme de Risch

En matemàtica, el algoritme de Risch, nomenat en honor a Robert H. Risch, és un algoritme utilisat per al càlcul d'integrals indefinides, és dir, trobar la funció primitiva d'una funció donada. L'algoritme transforma el problema d'integració en un problema d'àlgebra diferencial. Es basa en el tipo de funció que s'integra i en l'us de métodos per a integrar funcions racionals, radicals, logaritmes, i funcions exponencials.

Risch va desenrollar l'algoritme en 1968, denominant-ho un procediment de decisió, perque és un método per a decidir si una funció posseïx com a integral indefinida una funció elemental; i en el cas que la tinguera permet calcular-la. En 1976 es va desenrollar el algoritme de Risch-Norman, que encara que és més ràpit és una tècnica menys poderosa.

Descripció

L'algoritme de Risch s'usa per a integrar funcions elementals. Laplace va resoldre el problema de l'integració per al cas de funcions racionals demostrant que l'integral d'una funció racional és una atra funció racional més un número finit de múltiples de logaritmes de funcions racionals. L'algoritme sugerit per Laplace es descriu en molts manuals de càlcul elemental pero solament es va implementar algorítmicamente en els anys 1960.

Liouville va formular el problema la solució del qual ve donada per l'algoritme de Risch. Liouville va conseguir demostrar analíticamente que si existix una funció elemental g que siga solució de l'equació g ′ = f llavors existix un cert número de constants α_i i funcions elementals o_i i v, tals que:

Risch va desenrollar un método que permet considerar només un conjunt finit de funcions elementals de la forma trobada per Liouville per a resoldre el problema.

L'intuïció darrere de l'algoritme de Risch prové del comportament de les derivades de les funcions exponencial i logarítmica. Per a la funció f i^g, a on f i g són funcions diferenciables, es té:

per lo que si i^g apareguera com a resultat d'una integració indefinida, llavors deuria aparéixer dins de l'integral. Igualment per als logaritmes es tindria:

llavors si lnⁿg apareguera com a resultat de l'integració,llavors solament s'esperaria que aparegueren unes chicotetes potències del logaritme.

Una conseqüència important de l'algoritme de Risch és que l'integral gaussiana I_G no és una funció elemental.

Vore també

• Llista d'integrals
• Teorema de Liouville (àlgebra diferencial)
• Integració simbòlica

Referències

Bibliografia

• R. H. Risch(1969).«The Problem of Integration in Finite Terms».139

167-189.doi:10.2307/1995313.[1]

• Maxwell Rosenlicht(1972).«Integration in finite terms».79

963-972.

• Geddes, Czapor, Labahn (1992). Algorithms for Computer Algebra, Kluwer Academic Publishers.
• Manuel Bronstein (2005). Symbolic Integration I, Springer.

• Manuel Bronstein«Symbolic Integration Tutorial».