Teorema de Liouville (àlgebra diferencial)

Archiu:Liouville31415.gif

Joseph Liouville (1809-1882)
Matemàtic francés. Va treballar en teoria de números i va construir una classe infinita d'número trascendente.

En àlgebra diferencial, la teorema de Liouville, formulat per Joseph Liouville en una série de treballs sobre funcions elementals entre 1833 i 1841, i generalisat en la seua forma actual per Maxwell Rosenlicht en 1968, que planteja condicions per a que una funció primitiva puga expressar-se com una combinació de funcions elementals. També mostra en particular que numeroses primitives de funcions usuals, com la funció error de Gauss, que és una primitiva de la funció campana de Gauss, $e^{-x^2}$, no es poden expressar aixina.

La teorema diu aixina:

Si $\int f(x)e^{g(x)}dx$, en $f$ i $g$ cocient de polinomis i $g$ no constant, és una funció elemental, llavors és de la forma $\int f(x)e^{g(x)}dx=R(x)e^{g(x)}+C$ a on la funció $R(x)$ també és un cocient de polinomis. Joseph Liouville (1809-1882)

En efecte, si $f(x)e^{g(x)}$ és la derivada d'alguna funció elemental, en esta deu aparéixer $e^{g(x)}$, ademés d'alguna funció racional $R(x)$ puix $f(x)$ lo és.

També es complix la formulacón recíproca: $(f(x)e^{g(x)}{)}^{\prime }=R(x)e^{g(x)}$

Esta teorema permet provar, per eixemple, la no elementalidad de les primitives d'una funció molt coneguda: $f(x)=e^{-x^2}$ (La campana de Gauss).

No elementalidad de la campana de Gauss

Vore també: Campana de Gauss

$\int e^{-x^2}dx\text{no es elemental.}$

Si se supon que l'integral és elemental, al ser de la forma $\int f(x)e^{g(x)}dx$ en $f(x)=1$ i $g(x)=-x^2$, racionals, seria, per la teorema de Liouville, $\int e^{-x^2}dx=\frac{P(x)}{Q(x)}{e}^{-x^2}$ sent $P$ i $Q$ polinomis, i $\frac{P(x)}{Q(x)}$ simplificada al màxim, és dir, $P$ i $Q$ sense raïls comunes.

Derivant l'anterior igualtat, s'obté $e^{-x^2}=\left(\frac{P(x)}{Q(x)}\right)e^{-x^2}-2x\frac{P(x)}{Q(x)}{e}^{-x^2}⟹e^{-x^2}=\left(\frac{P^{\prime }(x)Q(x)-P(x)Q^{\prime }(x)}{Q^2(x)}\right)e^{-x^2}-2x\frac{P(x)}{Q(x)}{e}^{-x^2}$.

Cancelant els factors $e^{-x^2}$ s'aplega a $Q(x)(Q(x)-P^{\prime }(x)+2xP(x))=-P(x)Q^{\prime }(x)$.

Si el polinomi $Q(x)$ no fora constant, el teorema fonamental de l'àlgebra assegura que té a lo manco una raïl $\alpha$ (possiblement complexa) de multiplicitat n. És dir, en el polinomi de l'esquerra apareixerà el factor $x-\alpha$ en exponent major o igual que n i en el de la dreta apareixerà en exponent n - 1 puix $\alpha$ serà raïl de multiplicitat n - 1 de Q'(x) (vore) i no és raïl de P(x). Com açò no és possible, el polinomi Q(x) deu ser constant i, òbviament, es pot supondre Q(x) = 1.

Aixina que, si $\int e^{-x^2}dx$ fora una funció elemental s'hauria aplegat a l'igualtat $1-P^{\prime }(x)+2xP(x)=0$, és dir, $1+2xP(x)=P^{\prime }(x)$, igualtat que no és possible puix $\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(P(x))>\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(P^{\prime }(x))$.

De forma anàloga es prova la no elementalidad de $\int x^{2n}{e}^{a{x}^2}dx$ en $n\in \mathbb{Z}$, $a\in ℝ$, $a\ne 0$.

Atres integrals d'aspecte senzill pero no elementals

(1) $\int \frac{\sin (x)}{x}dx=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{k-1}\frac{x^{2k-1}}{(2k-1)(2k-1)!}+Cx>0$

(2) $\int \frac{\cos (x)}{x}dx=\gamma +\ln (x)+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-x^2{)}^k}{2k(2k)!}+Cx>0$

(3) $\int \frac{dx}{\ln (x)}=\gamma +\ln (\ln x)+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\ln x{)}^k}{k!\cdot k}+Cx>0$

(4) $\int \sqrt{1+9x^4}dx=\frac{1}{9\sqrt{9x^4+1}}(3(9x^5+x)-2\sqrt[4]{-1}\sqrt{27x^4+3}F(i{\sinh }^{-1}((1+i)\sqrt{\frac{3}{2}}x)|-1))$

(5) $\int \frac{e^x}{x}dx=\gamma +\ln (x)+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k}{kk!}+Cx>0$

Siga $\gamma =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }[\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln (n)]\approx 0,\mathrm{577215664901...}$

Bibliografia

• JOSÉ RAMÓN VIZMANOS, JOAQUÍN HERNÁNDEZ, FERNANDO ALCAIDE: Matemàtiques, 2ºBT. Edicions SM. Madrit, 2013.