Àlgebra diferencial

En matemàtiques, el àlgebra diferencial comprén l'estudi dels anells diferencials, els camps diferencials i les àlgebra diferencials en anells, camps, i àlgebra dotades d'un número finito de derivació, que són funcions unarias que són llineals i satisfan la regla del producte de Leibniz. Un eixemple natural de camp diferencial és el camp de les funcions racionals en una variable sobre els número complejo, $ℂ(t),$ a on la derivació és la diferenciació sobre $t.$

Àlgebra diferencial es referix també a l'àrea de les matemàtiques que consistix en l'estudi d'estos objectes algebraics i el seu us en l'estudi algebraic de les equacions diferencials. L'àlgebra diferencial va ser introduïda per Joseph Ritt en 1950.

Anell diferencial

Un anell diferencial és un anell $R$ dotat d'una o més derivació, que són homomorfismes de grups aditius $$\partial :R\to R,$$ tals que cada derivació $parcial$ satisfà la regla del producte de Leibniz:

$$\partial (r_1{r}_2)=(\partial r_1)r_2+r_1(\partial r_2),$$

per a cada $r_1,r_{2}enR.$ Note's que l'anell pot ser no conmutativo, per lo que la forma alguna cosa estàndar $d(xy)=xdy+ydx$ de la regla del producte en entorns conmutativos pot ser falsa. Si $M:R\times R\to R$ és una multiplicació en l'anell, la regla del producte és l'identitat

$$\partial \circ M=M\circ (\partial \times \mathrm{id})+M\circ (\mathrm{id}\times \partial ).$$

a on $f\times g$ significa la funció que mapea un parell $(x,y)$ al parell $(f(x),g(y)).$

Observe's que un anell diferencial és un àlgebra diferencial (no necessàriament graduada) $\mathbb{Z}$.

Cos diferencial

Un cos diferencial és un cos conmutativo $𝕂$ dotat d'alguna forma de derivació. La coneguda fòrmula per a diferenciar fraccions:

$$\partial \left(\frac{u}{v}\right)=\frac{\partial (u)v-u,\partial (v)}{v^2}$$

es deduïx de la regla del producte. En efecte, devem tindre

$$\partial (\frac{u}{v}\times v)=\partial (u)$$

Per la regla del producte,

$$\partial \left(\frac{u}{v}\right)v+\frac{u}{v}\partial (v)=\partial (u).$$

Resolent sobre $\partial (u/v),$ obtenim l'identitat buscada.

Si $𝕂$ és un cos diferencial, llavors el cos de constants de $𝕂$ és $k=\{u\in 𝕂:\partial (u)=0\}.$

Un àlgebra diferencial sobre un cos $𝕂$ és una $𝕂$-àlgebra $A$ en la que les derivació commuten en la multiplicació escalar. És dir, per a tot $k\in 𝕂$ i $x\in A,$ $$\partial (kx)=k\partial x.$$ Si $\eta :𝕂\to Z(A)$ és el homomorfisme d'anells al centre d'A que definix la multiplicació escalar en l'àlgebra, es té $$\partial \circ M\circ (\eta \times \mathrm{Id})=M\circ (\eta \times \partial ).$$

Com en el cas anterior, la derivació deu obedir a la regla de Leibniz sobre la multiplicació de l'àlgebra, i deu ser llineal sobre la suma. Aixina, per a tot $a,b\in 𝕂$ i $x,y\in A$ $$\partial (xy)=(\partial x)y+x(\partial y)$$ i $$\partial (ax+by)=a,\partial x+b,\partial y.$$