Número àureu

El número d'or, també cridat número, número de Deu, raó extrema i mija, raó dorada, mija àuria, proporció àuria, divina proporció, és un número irracional, representat per la lletra grega φ (phi) (en minúscula) o Φ (Phi) (en mayúscula) en honor al escultor grec Fidias. El seu valor numèric, per mig de radicals o decimals és

Erro al crear miniatura:

El número sorgix de la divisió en dos d'un segment guardant les següents proporcions: La llongitut total a+b és al segment més llarc a, com a és al segment més curt b.

Erro al crear miniatura:

Els segments AB i BC són perpendiculars i iguals a l'unitat. En centre en O tracem la circumferència de radi 1/2. Finalment, unint A en O i prolongant fins a la circumferència obtenim P. La llongitut AP és el número d'or respecte a AB. (EUCLIDES)

$\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}\approx 1,618033988749894\dots$

En ser irracional, no és possible representar-ho en exactitut com una fracció decimal; es pot seguir calculant sifres, pero mai s'alcança l'última. Rarament també es representa en la lletra grega tau (Τ τ), per ser la primera lletra de la raïl grega τομή, que significa acurtar. També es pot representar en la lletra grega alfa minúscula.

Es tracta d'un número algebraic irracional (la seua representació decimal és infinita i no té periodo) que posseïx moltes propietats interessants i que va ser descobert en l'Antiguetat, no com una expressió aritmètica, sino com a relació o proporció entre dos segments d'una recta, és dir, una construcció geomètrica. Esta proporció es troba tant en algunes figures geomètriques com en la naturalea: en les nervaduras dels fulls d'alguns arbres, en la gruixa de les branques, en la closca d'un caragol, en els flósculos dels girasols, etc. Una de les seues propietats aritmètiques més curioses és que Φ ≈ 1,618033988749894… i el seu recíproc (1/Φ ≈ 0,618033988749894…) tenen les mateixes infinites sifres decimals. Aixina mateix, s'atribuïx un caràcter estètic als objectes les mides dels quals guarden la proporció àuria. Alguns inclús creuen que posseïx una importància mística. A lo llarc de l'història, s'ha atribuït la seua inclusió en el disseny de diverses obres d'arquitectura i unes atres arts, encara que alguns d'estos casos han segut qüestionats pels estudiosos de les matemàtiques i l'art.

Definició

El número d'or és el valor numèric de la proporció que guarden entre sí dos segments de recta a i b (a més llarc que b), que complixen la següent relació:

• La llongitut total, suma dels dos segments a i b, és al segment major a, lo que este segment a és al menor b. Escrit com equació algebraica:

$\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}$

Sent el valor del número d'or φ el quocient: $\varphi =a/b$. Sorgix en plantejar el problema geomètric següent: partir un segment en atres dos, de manera que, en dividir la llongitut total per la del segment major, obtingam el mateix resultat que en dividir la llongitut del segment major per la del menor.

Càlcul del valor del número d'or

Dos números a i b estan en proporció àuria si es complix:

Deducció

	1	2
Equacions	$\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}$	$\phi =\frac{a}{b}$
Simplificando	$1+\frac{b}{a}=\frac{a}{b}$
Sustituyendo	$1+{\phi }^{-1}=\phi$
Multiplicando $(\phi )$	$\phi +1={\phi }^2$
Despejando	${\phi }^2-\phi -1=0$
Solución positiva	$\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

$\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ $\approx 1,61803398874989484820$$45868343656381177203\dots$

que es el valor del número d'or, equivalente a la relació $a/b$.

Identitat Trigonométrica del número d'or

Esta identitat mostra cóm el número d'or pot expressar-se a partir d'una combinació de raons trigonometricas associades al triàngul rectàngul en costats proporcionals a (a/2,a). L'àngul corresponent complix $tan(\theta )=\frac{1}{2}$, y d'ello se obté $cos(\theta )=\frac{2}{\sqrt{5}}$.

$\phi =cos60+\frac{1}{cos(arctan\frac{1}{2})}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Geomètricament, esta relació prové d'un triàngul rectangle els catets del qual estan en la proporció 1:2. L'hipotenusa és $\frac{a\sqrt{5}}{2}$, i la relació resultant conecta la raó àuria en una combinació de funcions trigonomètriques simples. Autor: Andri Lopez (CCBY-SA 4.0)

Història del número d'or

Alguns autors sugerixen que el número d'or es troba com a proporció en vàries esteles de Babilonia i Asiria d'al voltant de 2000 a. C. No obstant, no existix documentació històrica que indique que el número d'or fora utilisat conscientment per dits artistes en l'elaboració de les esteles. Quan es medix una estructura complexa, és fàcil obtindre resultats curiosos si es tenen moltes mides disponibles. Ademés, per a que es puga afirmar que el número d'or està present, les mides deuen prendre's des de punts significatius de l'objecte, pero este no és el cas de moltes hipòtesis que defenen la presència del número d'or. Per totes estes raons Mario Livio conclou que és molt improvable que els babilonios hagen descobert el número d'or.

Antiguetat

El primer en fer un estudi formal del número d'or va ser Euclides (c. 300 a. C-265 a. C.), qui lo va definir de la següent manera:

Es diu que una recta ha segut tallada en extrema i mija raó quan la recta sancera és al segment major com el segment major és al segment menor.

Euclides Els Elements Definició 3 dellibre Sext.

• Euclides va demostrar també que este número no pot ser descrit com la raó de dos número entero; és dir, és un número irracional.

Platón (c. 428-347 a. C.) pugues haver estudiat el número d'or; no obstant, pot ser que se li atribuïxca el desenroll de teoremes relacionades en el número d'or degut a que l'historiador grec Proclo va escriure:

Eudoxo… va multiplicar el número de teoremes relatives a la secció als que Platón va donar orige.

Proclo en Un comentari sobre el Primer Llibre dels Elements d'Euclides.

Ací a sovint es va interpretar la paraula secció (τομή) com la secció àuria. No obstant a partir d'el XIX esta interpretació ha segut motiu de gran controvèrsia i molts investigadors han aplegat a la conclusió de que la paraula secció no va tindre res a vore en el número d'or. No obstant, Platón va considerar que els número irracional, descoberts pels pitagórico, eren de particular importància i la clau de la física del cosmos. Esta opinió va tindre una gran influència en molts filòsofs i matemàtics posteriors, en particular els neoplatònics.

Edat Moderna

En 1509 el matemàtic i teòlec italià Luca Pacioli va publicar De Divina Proportione (La Divina Proporció), a on planteja cinc raons per les que estima apropiat considerar diví al número d'or:

1. l'unicitat; Pacioli compara el valor únic del número d'or en l'unicitat de Deu.
2. El fet de que estiga definit per tres segments de recta, Pacioli ho associa en la Trinitat.
3. l'inconmensurabilidad; per a Pacioli la inconmensurabilidad del número d'or i la inconmensurabilidad de Deu són equivalents.
4. l'autosimilitud associada al número d'or; Pacioli la compara en l'omnipresencia i invariabilidad de Deu.
5. Segons Pacioli, de la mateixa manera en que Deu va donar ser a l'Univers a través de la quinta essència, representada pel dodecaedre, el número d'or va donar ser al dodecaedre. En 1525, Alberto Durero va publicar Instrucció sobre la mida en regla i compàs de figures planes i sòlides, a on descriu cóm traçar en regla i compàs l'espiral àuria basada en la secció àuria, que es coneix com a “espiral de Durero”. L'astrònom Johannes Kepler (1571-1630) va desenrollar un model platònic del sistema solar utilisant els sòlits platònics, i es va referir al número d'or en térmens grandiosos:

La geometria té dos grans tesors: un és el teorema de Pitágoras; l'atre, la divisió d'una llínea entre l'extrem i el seu proporcional. El primer ho podem comparar a una mida d'argent; el segon ho devem denominar una joya preciosa.

Johannes Kepler en Mysterium Cosmographicum (El misteri còsmic).

El primer us conegut de l'adjectiu número d'or, dorat, o d'or, per a referir-se a este número ho fa el matemàtic alemà Martin Ohm, germà del célebre físic Georg Simon Ohm, en la segona edició de 1835 del seu llibre Die Regne Elementar Matematik (Les matemàtiques pures elementals). Ohm escriu en una nota al peu:

Un també acostuma cridar a esta divisió d'una llínea arbitrària en dos parts com estes la secció dorada.

Martin Ohm en Die Regne Elementar Matematik (Les matemàtiques pures elementals).

A pesar de que la forma d'escriure sugerix que el terme ya era d'us comú per a la data, el fet de que no ho incloguera en la seua primera edició sugerix que el terme va poder guanyar popularitat al voltant de 1830. En els texts de matemàtiques que tractaven el tema, el símbol habitual per a representar el número d'or va ser τ, del grec τομή, que significa ‘cort o secció’. No obstant, la moderna denominació Φ o φ va ser ideada en 1900 pel matemàtic Mark Barr en honor a Fidias, ya que esta era la primera lletra del seu nom escrit en grec (Φειδίας). Este honor se li va concedir a Fidias pel màxim valor estètic atribuït a les seues escultures, propietat que ya per llavors se li atribuïa també al número d'or. Mark Barr i Schooling varen ser responsables dels apèndixs matemàtics dellibre The Curves of Life, de sir Theodore Andrea Cook. El divulgador matemàtic Martin Gardner també va escriure posteriorment que Fidias va ser elegit perque es creïa que havia utilisat la proporció àuria en freqüència en la seua escultura, encara que el propi Barr va qüestionar esta asseveració, escrivint en el seu artícul Paràmetros de la bellea que dubtava que Fidias haguera utilisat la proporció àuria.

El número d'or en les matemàtiques

Propietats i representacions

Àngul d'Argent

$\frac{360^{\circ }}{\phi +1}\approx \mathrm{137,}{5}^{\circ }$ raó número d'or

Propietats aritmètiques

• $\phi =1,\mathrm{618033988749894848204586834365638117720309...}$ es el único número real positiu tal que:

${\phi }^2=\phi +1$

• φ posseïx ademés les següents propietats, derivades de l'anterior:

$\phi -1=\frac{1}{\phi }$

${\phi }^3=\frac{\phi +1}{\phi -1}$

${\phi }^2-\frac{1}{\phi }=2$

• les potències del número d'or poden expressar-se en funció d'una suma de potències de graus inferiors del mateix número, establida una verdadera successió recurrent de potències.

El cas més simple és: ${\phi }^n={\phi }^{n-1}+{\phi }^{n-2}$ per a qualsevol n que siga un número enter. Este cas és una successió recurrent d'orde k = 2, puix es recorre a dos potències anteriors.

Una equació recurrent d'orde k té la forma:

$a_1{u}_{n+k-1}+a_2{u}_{n+k-2}+\mathrm{...}+a_k{u}_n$,

a on $a_i$ és qualsevol número real o complex i k és un número natural menor o igual a n i major o igual a 1. En el cas anterior és $k=2$, $a_1=1$ i $a_2=1$.

Pero podem «saltar» la potència immediatament anterior i escriure:

${\phi }^n={\phi }^{n-2}+2{\phi }^{n-3}+{\phi }^{n-4}$. Ací $k=4$, $a_1=0$, $a_2=1$, $a_3=2$ i $a_4=1$.

Si s'anul·len les dos potències immediatament anteriors, també hi ha una fòrmula recurrent d'orde 6:

${\phi }^n={\phi }^{n-3}+3{\phi }^{n-4}+3{\phi }^{n-5}+{\phi }^{n-6}$

En general:

${\phi }^n=\sum _{i=0}^{k/2}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\frac{k}{2}}{i}){\phi }^{\left[n-\left(\frac{k}{2}+i\right)\right]};k=2j,n,i\in \mathbb{N}$.

En resum, qualsevol potència del número d'or pot ser considerada com l'element d'una successió recurrent d'ordes 2, 4, 6, 8,..., 2k; a on k és un número natural. En la fòrmula recurrent és possible que apareguen potències negatives de $\phi$, fet totalment correcte. Ademés, una potència negativa de $\phi$ correspon a una potència positiva del seu invers, la secció àuria.

Este curiós conjunt de propietats i el fet de que els coeficients significatius siguen els del binomi, pareixerien indicar que entre el número d'or i el número e hi ha un parentesc.

• El número d'or $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$ és l'unitat fonamental «ε» del cos de números algebraics $\mathbb{Q}\left(\sqrt{5}\right)$ i la secció àuria $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ és la seua inversa, «${\epsilon }^{-1}$». En esta extensió l'«emblemàtic» número irracional $\sqrt{2}$ complix les següents igualtats:

$\sqrt{2}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\sqrt{3-\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\sqrt{3+\sqrt{5}}$.

Representació per mig de fraccions contínues

L'expressió per mig de fraccions contínues és:

Esta iteración és l'única a on sumar és multiplicar i restar és dividir. És també la més simple de totes les fraccions contínues i la que té la convergència més llenta. Eixa propietat fa que ademés el número d'or siga un número mal aproximable per mig de racionals que de fet alcança el pijor grau possible d'aproximabilidad per mig de racionals.

Per això es diu que $\phi$ és el número més alluntat de lo racional o el número més irracional. Est és el motiu pel qual apareix en el teorema de Kolmogórov-Arnold-Moser.

Representació trigonométrica

$\phi =1+2\mathrm{sen}(\pi /10)=1+2\mathrm{sen}18^{\circ }$

$\phi =\frac{1}{2}\csc (\pi /10)=\frac{1}{2}\csc 18^{\circ }$

$\phi =2\cos (\pi /5)=2\cos 36^{\circ }$

$\phi =\frac{1}{2}\sec \frac{2}{5}\pi =\frac{1}{2}\sec 72^{\circ }$

$\phi =\frac{\mathrm{sen}(2\pi /5)}{\mathrm{sen}(1\pi /5)}=\frac{\mathrm{sen}(72^{\circ })}{\mathrm{sen}(36^{\circ })}$

Estes corresponen al fet de que la diagonal d'un pentàgon regular (distància entre dos vèrtiços no consecutius) és φ voltes la llongitut del seu costat, i d'atres relacions similars en el pentagrama.

Representació per mig de raïls anidades

$\phi =\sqrt{1+\phi }⟶\phi =\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots }}}}$

Esta fórmula como caso particular d'una identidad general publicada por Nathan Altshiller-Court, de la Universidad d'Oklahoma, en la revista American Mathematical Monthly, 1917. El teorema general dice que la expresión

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt{a_1+\sqrt{a_2+\sqrt{a_3+\sqrt{a_4+\sqrt{\cdots +\sqrt{a_n}}}}}}$

a on $a_i=a$, és igual a la major de les raïls de l'equació $x^2-x-a=0,$ o siga, $\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2}$.

Relació en la successió de Fibonacci

Si es denota l'enèsim número de Fibonacci com a F_n, i al següent número de Fibonacci com a F_{n + 1}, descobrim que, a mida que n aumenta, esta raó oscila i és alternativament menor i major que la raó àuria. Podem també notar que la fracció contínua que descriu al número d'or produïx sempre números de Fibonacci a mida que aumenta el número d'uns en la fracció. Per eixemple: $\frac{3}{2}=1,5$; $\frac{8}{5}=1,6$; i $\frac{21}{13}=1,\mathrm{61538461...}$, lo que s'acosta considerablement al número d'or. Llavors es té que:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{F_{n+1}}{F_n}=\phi$

Esta propietat va ser descoberta per l'astrònom alemany Johannes Kepler, pero varen passar més de cent anys abans de que fòra demostrada pel matemàtic escocés Robert Simson. En posterioritat es va trobar que qualsevol successió additiva recurrent d'orde 2 tendix al mateix llímit. Per eixemple, si prenem dos números naturals arbitraris, com 3 i 7, la successió recurrent resulta: 3, 7, 10, 17, 27, 44, 71, 115, 186, 301, … Els quocients de térmens successius produïxen aproximacions racionals que s'acosten assimptòticament per excés i per defecte al mateix llímit: 44/27 = 1,6296296…; 71/44 = 1,613636…; 301/186 = 1,6182795.

A mitjans del XIX, el matemàtic francés Jacques Philippe Marie Binet va redescobrir una fòrmula que aparentment ya era coneguda per Leonhard Euler, i per un atre matemàtic francés, Abraham de Moivre. La fòrmula permet trobar l'enèsim número de Fibonacci sense la necessitat de produir tots els números anteriors. La fòrmula de Binet depén exclusivament del número d'or:

$F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}[{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^n]$ $=\frac{{\phi }^n-(1-\phi {)}^n}{\sqrt{5}}$

per a n > 0 i n és un número enter positiu.

El número d'or en la geometria

El triàngul de Kepler és un triàngul rectàngul format per tres quadrats en àrees en progressió geomètrica d'acort al número d'or.

El número d'or i la secció àuria estan presents en tots els objectes geomètrics regulars o semirregulares en els que hi haja simetria pentagonal, que siguen pentàgons o que aparega d'alguna manera la raïl quadrada de cinc.

• Relacions entre les parts del pentàgon.
• Relacions entre les parts del pentàgon estrelat, pentáculo o pentagrama.
• Relacions entre les parts del decágono.
• Relacions entre les parts del dodecaedre i de l'icosaedre.

El rectàngul número d'or d'Euclides

el rectàngul AEFD és número d'or perque els seus costats AE i AD estan en la proporció del número d'or. Euclides, en la seua proposició 2.11 de Els elements, obté la seua construcció:

$GC=\sqrt{5}$

En centre en G s'obté el punt E, i per tant:

$GE=GC=\sqrt{5}$

con lo que resulta evidente que

$AE=AG+GE=1+\sqrt{5}$

de a on, finalmente,

$\frac{AE}{AD}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\phi$

Erro al crear miniatura:

El número d'or o d'oro por Pitágoras

Por atra parte, els rectángulos AEFD y BEFC són semejantes, de modo que este último es asimisme un rectángulo número d'or.

Generación d'un rectángulo número d'or a partir d'atre

d'atra manera:

$\phi =\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+1}+\frac{1}{2}$

En el pentagrama

Els segments coloreados del pentagrama posseïxen proporcions àuries.

El número d'or té un paper molt important en els pentàgons regulars i en els pentagrames. Cada intersecció de parts d'un segment es interseca en un atre segment en una raó àuria. El pentagrama inclou dèu triànguls isósceles: cinc acutángulos i cinc obtusànguls. En abdós, la raó de costat major i el menor és φ. Estos triànguls es coneixen com els triànguls àureus. Tenint en conte la gran simetria d'este símbol, s'observa que dins del pentàgon interior és possible dibuixar una nova estrela, en una recursividad fins al infinit. De la mateixa manera, és possible dibuixar un pentàgon per l'exterior, que seria a la seua volta el pentàgon interior d'una estrela més gran. En medir la llongitut total d'una de les cinc llínees del pentáculo interior, resulta igual a la llongitut de qualsevol dels braços de l'estrela major, o siga Φ. Per lo tant, el número de voltes en que apareix el número d'or en el pentagrama és infinit en afegir infinits pentagrames.

La teorema de Ptolomeo i el pentàgon

Es pot calcular el número d'or usant el teorema de Ptolomeo en un pentàgon regular.

Claudio Ptolomeo va desenrollar una teorema coneguda com el teorema de Ptolomeo, el qual permet traçar un pentàgon regular per mig de regla i compàs. Aplicant esta teorema, es forma un quadrilàter en llevar un dels vèrtiços del pentàgon, Si les diagonals i la base major medixen b, i els costats i la base menor medixen a, resulta que b² = a² + ab lo que implica:

$\frac{b}{a}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}.$

Pentágono estrelat

Apareix el número de la justa raó entre els segments parcials dels costats d'un pentàgon estrelat.

Trigonometria

El sen de 18° és la mitat de l'invers del número de la justa raó.

• cos 36° és la mitat del número d'or.
• D'igual modo 2 cos 36° - 2 sen 18° = φ - 1/φ.

Relació en els sòlits platònics

El número d'or està relacionat en els sòlits platònics, en particular en l'icosaedre i el dodecaedre, les dimensions del qual estan donades en térmens del número d'or. Els 12 vèrtiços d'un icosaedre en arestes de llongitut 2 poden expressar-se en coordenades cartesianas pels següents punts:

(0, ±1, ±φ), (±1, ±φ, 0), (±φ, 0, ±1)

Els 20 vèrtiços d'un dodecaedre en arestes de llongitut 2/φ=√5−1 també es poden donar en térmens similars:

(±1, ±1, ±1), (0, ±1/φ, ±φ), (±1/φ, ±φ, 0), (±φ, 0, ±1/φ)

Erro al crear miniatura:

Els 12 vèrtiços dels tres rectànguls àureus coincidixen en els centres de les cares d'un dodecaedre.

Per a un dodecaedre en arestes de llongitut a, el seu volum i la seua àrea total es poden expressar també en térmens del número d'or:

$A=3\sqrt{15+20\phi }\cdot a^2$

$V=\frac{4+7\phi }{2}\cdot a^3$

Si tres rectànguls àureus es solapan paralament en els seus centres, els 12 vèrtiços dels tres rectànguls àureus coincidixen exactament en els vèrtiços d'un icosaedre, i en els centres de les cares d'un dodecaedre. El punt que els rectànguls tenen en comú és el centre tant del dodecaedre com de l'icosaedre.

El número d'or en la naturalea

Concha de nautilus en espiralogarítmica

En la naturalea, hi ha molts elements relacionats en la secció àuria o els números de Fibonacci:

• Leonardo de Pisa (Fibonacci), en el seu Llibre dels àbacs (Liber abacci, 1202, 1228), usa la successió que du el seu nom per a calcular el número de parells de conills n mesos en acabant de que una primera parella comença a reproduir-se (suponent que els conills estan aïllats per murs, s'escomencen a reproduir quan tenen dos mesos d'edat, tarden un més des de la fecundació fins al part i cada ventrada és de dos conills). Est és un problema matemàtic purament independent de que siguen conills els involucrats. En realitat, el conill comú europeu té ventrades de 4 a 12 individus i vàries voltes a l'any, encara que no cada més, pese a que la preñez dura 32 dies. El problema es troba en les pàgines 123 i 124 del manuscrit de 1228, que va ser el que va aplegar fins a nosatres, i sembla que el plantejament va recórrer a conills com poguera haver segut a atres sers; és un soport per a fer comprensible una incògnita, un acertijo matemàtic. El cocient de dos térmens consecutius de la successió de Fibonacci tendix a la secció àuria o al número d'or si la fracció resultant és pròpia o impròpia, respectivament. Lo mateixa succeïx en tota successió recurrent d'orde dos, segons varen demostrar Barr i Schooling en la revista The Field del 14 de decembre de 1912.

• La disposició dels pétals de les flors (el paper del número d'or en la botànica rep el nom de Llei de Ludwig).
• La distribució dels fulls en un talle. Vore: Successió de Fibonacci.
• La relació entre les nervaduras dels fulls dels arbres.

• La relació entre la gruixa de les branques principals i el tronc, o entre les branques principals i les secundàries (la gruixa d'una equival a Φ prenent com a unitat la branca superior).

• La cantitat d'espirals d'una pinya (huit i tretze espirals), flors o inflorescència. Estos números són elements de la successió de Fibonacci i el cocient de dos elements consecutius tendix al número d'or.
• La distància entre el melic i la planta dels peus d'una persona, respecte a la seua altura total.

• La cantitat de pétals en les flors. Existixen flors en 3, 5 i 8 pétals i també en 13, 21, 34, 55, 89 i 144.
• La distribució dels fulls de la yuca i la disposició dels fulls de les carchofes.

• La relació entre la distància entre les espiras de l'interior espiralado de qualsevol caragol o de cefalòpodes com el nautilus. Hi ha per lo manco tres espirals logarítmiques més o menys assimilables a proporcions aúreas. La primera d'elles es caracterisa per la relació constant igual al número d'or entre els radiovectores de punts situats en dos evolutas consecutives en una mateixa direcció i sentit. Les closques del Fusus antiquus, del Murex, de Scalaria pretiosa, de Facelaria i de Solarium trochleare, entre unes atres, seguixen este tipo d'espiral de creiximent. Es deu entendre que en tota consideració natural, encara que involucre a les ciències considerades més matemàticament desenrollades, com la Física, cap relació o constant que tinga un número infinit de decimals pot aplegar fins allímit matemàtic, perque en eixa escala no existiria cap objecte físic. La partícula elemental més diminuta que es puga imaginar és infinitament més gran que un punt en una recta. Les lleis observades i descriptas matemàticament en els organismes les complixen transgrediéndolas orgánicamente.

• Per a que els fulls escampats d'una planta (Vore Filotaxis) o les branques al voltant del tronc tinguen el màxim d'insolació en la mínima interferència entre elles, estes deuen créixer separades en hèliç ascendent segons un àngul constant i teòricament igual a 360° (2 - φ) ≈ 137°30′ 27,950 580 136 276 726 855 462 662 132 999…". En la naturalea es medirà un àngul pràctic de 137º 30' o de 137º 30' 28" en el millor dels casos. Per al càlcul es considera allumenament vertical i el criteri matemàtic és que les proyeccions horisontals d'unes sobre unes atres no es recobrixquen exactament. Encara que l'allumenament del Sol no és, en general, vertical i varia en la latitut i les estacions, açò garantisa el màxim aprofitament de la llum solar. Este fet va ser descobert empíricamente per Church i confirmat matemàticament per Weisner en 1875. En la pràctica no pot medir-se en tanta precisió l'àngul i les plantes ho reproduïxen "orgánicamente"; o siga, en una chicoteta desviació respecte al valor teòric. No totes les plantes es beneficien en un màxim d'exposició solar o a la pluja, per lo que s'observen atres ànguls constants diferents de l'ideal de 137°30′. Pot trobar una taula en la pàgina 26 del document complet accessible en l'enllaç de la referència.

• En la cantitat d'elements constituents de les espirals o dobles espirals de les inflorescència, com en el cas del girasol, i en atres objectes orgànics com les pinyes dels pins es troben números pertanyents a la successió de Fibonacci. El cocient de dos números successius d'esta successió tendix al número d'or.

• Existixen cristals de pirita dodecaédricos pentagonals (piritoedros) que les seues cares són pentàgons irregulars. No obstant, les proporcions de dit poliedre irregular no involucren el número d'or. En el món inorgànic no existix el pentàgon regular. Est apareix (fent la salvetat de que en un error orgànic; no podem pretendre exactitut matemàtica allímit) exclusivament en els organismes vius.

El número d'or en l'art

• Relacions en la forma de la Gran Piràmide de Guiza. L'afirmació d'Heródoto de que el quadrat de l'altura és igual a la superfície d'una cara és possible únicament si la semi-secció meridiana de la piràmide és proporcional al triàngul rectàngul $(1.\sqrt{\frac{\sqrt{5}+1}{2}},\frac{\sqrt{5}+1}{2})$, a on 1 representa proporcionalment a la mitat de la base, l'arrel quadrada del número d'or a l'altura fins al vèrtex (inexistent en l'actualitat) i el número d'or o hipotenusa del triàngul a l'apotema de la Gran Piràmide. Esta tesis ha segut defessa pels matemàtics Jarolimek, K. Kleppisch i W. A. Price (vore referències), se recolza en l'interpretació d'un passatge d'Heròdot (Historiae, llibre II, cap. 124) i resulta teòricament en sentit, encara que una construcció de semblant tamany podria contindre errors inevitables a tota obra arquitectònica i a la mateixa naturalea de la tecnologia humana, que en la pràctica pot manejar únicament números racionals. Atres investigadors famosos s'inclinen per l'hipòtesi de que els constructors intentaren una quadratura del círcul, puix l'arrel quadrada del número d'or s'aproxima molt al quocient de 4 sobre π. Pero una construcció tal, encara que es coneguera π en una aproximació gran, carixeria completament d'interés geomètric.

No obstant, en base a medicions no és possible triar entre una o atra puix la diferència sobre el monument real no és major a 14,2 cm i esta chicoteta variació queda emmascarada per les incerteses de les mides, els errors constructius i, principalment, perque la piràmide va pedre el revestiment en mans dels primers constructors del Caire. Per a que açò quede més clar, una precisió de l'1 per mil en una base de 230 metros equival a 23 centímetres i en l'altura està en l'orde de la diferència real que deuria existir entre abdós possibilitats.

• La relació entre les parts, el sostre i les columnes del Partenó, en Atenes (V). Durant el primer quart del XX, Jay Hambidge, de l'Universitat de Yale, es va inspirar en un passage del Teetet de Plató per a estudiar les proporcions relatives de les superfícies, alguna cosa molt natural quan es tracta d'obres arquitectòniques. Dos rectànguls no semblants es distingixen entre ells pel quocient del seu costat major pel menor, número que basta per a caracterisar ad estes figures i que va denominar mòdul del rectàngul. Un quadrat té mòdul 1 i el doble quadrat mòdul 2. Aquells rectànguls els mòduls dels quals són números enters o racionals varen ser denominats "estàtics" i els que posseïxen mòduls irracionals euclidians, o siga, expressables algebraicament com a raïls d'equacions quadràtiques o reducibles ad elles, "dinàmics". El doble quadrat és alhora estàtic i dinàmic, puix 2 és la raïl quadrada de 4. Un eixemple de rectàngul dinàmic elemental és aquell que té per costat major a la raïl quadrada de 5 i per costat menor a l'unitat, sent el seu mòdul la raïl quadrada de 5. Posteriorment Hambidge va estudiar els monuments i temples grecs i va arribar a enquadrar el frontó del Partenó en un rectàngul de mòdul $\frac{4\phi -2}{\phi +1}$. Per mig de quatre diagonals subministra les principals proporcions verticals i horizontals. Este rectàngul és descompost en sis de mòdul $\sqrt{5}$ i quatre quadrats.

Com a senya adicional per a indicar la complexitat del tractament de l'edifici es té que en 1837 varen ser descobertes correccions òptiques en el Partenón. El temple té tres vistes principals i si les seues columnes estigueren efectivament a plom, totes les seues llínees anaren parals i perfectament rectes i els ànguls rectes foren exactes, per les propietats de la visió humana el conjunt es voria més ample dalt que en la base, les seues columnes es percebrien inclinades cap a fòra i la llínea que fonamenta el sostre sobre les columnes es voria com una espècie de catenària, en els extrems de l'edifici aparentment més alts que el centre. Els constructors varen fer la construcció compensant estos efectes d'ilusió òptica inclinant o curvant en sentit invers als elements involucrats. Aixina les columnes exteriors, en abdós costats del front, estan inclinades cap a dins en un àngul de 2,65 segons d'arc, mentres que les que estan en el mig tenen un inclinament de 2,61 segons d'arc. La llínea que formarien els llindars entre columnes i que constituïx la base del triàngul que corona l'edifici, en realitat és un àngul de 2,64 segons d'arc en el vèrtiç més elevat que els extrems. D'esta forma, i en atres correccions que no es mencionen ací, es conseguix que qualsevol observador que se situe en els tres punts principals de vista veja tot el conjunt paral, uniforme i recte.

• Estudis com els d'el Dr. Fechner han demostrat que la percepció de la bellea radica en la proporció àuria. Per això, allò que matemàticament més s'aproxime a fi, es percebrà com més bell i perfecte. Esta noció de bellea i perfecció és aplicable a estructures arquitectòniques, pintures, partitures musicals, fractals i persones.
• En el quadro Leda atòmica, de Salvador Dalí, fet en colaboració en el matemàtic rumà Matila Ghyka.
• En les estructures i temps de les películes "L'acorazar Potemkin" i "Iván el Terrible" de Serguéi Eisenstein.

• En els violins, l'ubicació de les efes o eses (els “oïts” o orificis en la tapa) es relaciona en el número d'or.^{cita requerida}
• El número d'or apareix en les relacions entre altura i ample dels objectes i persones que apareixen en les obres de Miguel Ángel, Durero i Leonardo Dona Vinci, entre uns atres.
• És necessari desmentir l'expandida asseveració de que el número d'or apareix en la coneguda representació del home de Vitruvio de Leonardo dona Vinci. En este dibuix Leonardo dona Vinci seguix estrictament les proporcions fraccionarias del cos humà que Vitruvio descriu en el seu llibre d'architectura; concretament en el Capítul I dellibre Tercer, “L'orige de les mides del Temple”.

• En les estructures formals de les sonates de Wolfgang Amadeus Mozart, en la Quinta Simfonia de Ludwig van Beethoven^{cita requerida}, en obres de Franz Schubert^{cita requerida} i Claude Debussy ^{cita requerida} (estos compositors provablement varen compondre estes relacions de manera inconscient, basant-se en equilibris de masses sonores).

• En la pág. 56 de la novela de Donen Brown El còdic Dona Vinci apareix una versió desordenada dels primers huit números de Fibonacci (13, 3, 2, 21, 1, 1, 8, 5), que funcionen com una pista deixada pel conservador del museu delouvre, Jacques Saunière. En les pp. 121 a 123 explica algunes de les aparicions del número fi (1,618) en la naturalea i el ser humà. Menciona que les distàncies entre el nostre cos són proporcionals entre sí, com les de la cama a la cuixa, el braç a la gobanella, etc.
• En l'episodi “Sabotage” de la série de televisió NUMB3RS (primera temporada, 2005), el geni de la matemàtica Charlie Eppes menciona que el número fi es troba en l'estructura dels cristals, en l'espiral de les galàxies i en la closca del Nautilus.

• En l'episodi de Ments Criminals "Obra mestra" (Quarta temporada, episodi 8), els crims del professor Rothschild seguixen una successió de Fibonacci; en la primera zona, va matar a una víctima; en la segona, a una atra; en la tercera, a dos; en la quarta, a tres; i en la quinta, a cinc: dotze en total. Les localisacions també es disponen segons una espiral àuria, de fòra cap a dins: elloc a on estaven seqüestrats els chiquets estava just en el centre. Fins a va elegir als seus dotze primeres víctimes segons quànt s'acostaren les relacions entre les seues traces facials al número d'or: buscava que anaren els "espècimen més perfectes de ser humà".
• En la cinta de Darren Aronofsky Pi, fe en el caos/Pi, l'orde del caos, el personage central, el matemàtic Max Cohen, explica la relació que hi ha entre els números de Fibonacci i la secció àuria, encara que denominant-la incorrectament Theta (θ) en lloc de Phi (Φ).

• En Steel Ball Run, la sèptima part de la popular franquícia de mànega JoJo's Bizarre Adventure, l'espiral dorada constituïx un element crucial dins de la trama, sent l'orige de la tècnica Spin utilisada pels protagonistes.
• El número phi apareix en la película de Disney Donald en el país de les matemàtiques.

Bibliografia

En orde cronològic:

• Jarolimek (Viena, 1890). Der Mathematischen Schlüssel zu der Pyramide dones Cheops.
• Kleppisch (1921). Die Cheops-Pyramide: Ein Denkmal Mathematischer Erkenntnis, Munich: Oldenburg.
• Cook, Theodore Andrea (1979; obra original: 1914). The Curves of Live, Nova York: Dover. ISBN ISBN 0-486-23701-X.
• Pacioli, Luca (1991). , Tres Vores: Edicions Akal, S. A.. ISBN 978-84-7600-787-7.
• Ghyka, Matila (1992). El Número d'argent, Barcelona: Poseidón, S. L.. ISBN 978-84-85083-11-4.
• Ghyka, Matila (2006). El Número d'argent. I Els ritmes. II Els Ritos, Madrit: Edicions Apóstrofe, S. L.. ISBN 978-84-455-0275-4.
• Corbalán, Fernando (2010). , RBA Coleccionables S. A.. ISBN 978-84-473-6623-1.

Enllaços externs

Commons

• Wikimedia Commons alberga contingut multimèdia sobre Número àureu.
• GoldenRatio en MathWorld.

• com/blog/proporcion-aurea/ proporció àuria en el disseny i l'art