Espiral

Erro al crear miniatura:

Espiral

Una espiralogarítmica.

Una espiral és una llínea curva generada per un punt que es va alluntant progressivament del centre al mateix temps que gira al voltant d'ell. Normalment es definix en una funció que depén de dos valors: l'àngul del punt respecte a un eix de referència, i la distància des d'este punt al centre, situat en el vèrtiç de l'àngul.

Diferències entre espiral i hèliç

Image d'una espiral arquimediana (negra), junt en una hèliç cònica (roja) i una hèliç cilíndrica (verda). En el cas de l'hèliç cònica, esta pot entendre's com una espiral tridimensional.

«Espiral» i «hèliç» són dos vocablos que es confonen fàcilment. Una espiral sol ser plana (com la regata d'un disc de vinil). Una hèliç, en canvi, sempre és tridimensional: és una llínea curva contínua, en pendent finita i no nula, que gira al voltant d'un cilindre, un con o una esfera, alvançant en les tres dimensions (com la vora d'un tornell).

Espirals bidimensionals

Les espirals bidimensionals més conegudes són:

• l'espiral d'Arquímedes: r = a + bθ
• L'espiral clotoide
• l'espiral de Fermat: r = θ^1/2
• l'espiral hiperbòlica: r = a/θ
• l'espiralogarítmica: ___*$\theta ={\log }_b(r/a)$
• 
  Espiral d'Arquímedes
• Erro al crear miniatura:
  Espiralogarítmica
• Erro al crear miniatura:
  Espiral de Fermat
• Erro al crear miniatura:
  espiral hiperbòlica

Espirals tridimensionals

L'hèliç esfèrica o espiral esfèrica d'infinites revolucions.

Per a la creació d'espirals tridimensionals s'introduïx una variable més en la funció de l'espiral, el valor de la qual és el d'una funció contínua i de monotonia repetitiva que depén de l'àngul.

L'hèliç esfèrica o espiral esfèrica

Una hèliç esfèrica, també cridada espiral esfèrica, és la curva que descriuria un «barco ideal» viajant des d'un pol fins a l'atre pol de la Terra, mantenint una mateixa pendent finita no nula. L'hèliç tindria un número infinit de revolucions, en la distància entre elles cada volta menor a mida que s'acostara als pols. L'única forma d'evitar donar regressos indefinidament en una hèliç esfèrica és que esta fora arquimediana; és dir, que la pendent del barco s'ajustara a la necessària per a que la funció de dita hèliç coincidira en la de l'espiral arquimediana sobre l'esfera.

Vore també: Loxodrómica

L'espiral com a símbol

Triple espiral d'orige celta en una jamba de tomba de túmulo.

L'espiral és un dels símbols més antics i es troba en tots els continents, havent jugat un paper fonamental en el simbolisme des de la seua aparició en l'art megalític. Sembla que en molts llocs representava el cicle «naiximent-mort-renaixença» aixina com al Sol, que es creïa seguia eixe mateix cicle, naixent cada matí, morint cada nit i renaixent al matí següent. Actualment, l'espiral també és amprada com a símbol per a representar el pensament cíclico, en diverses propostes filosòfiques, espirituals, estètiques i tecnològiques, per lo que pot parlar-se en rigor de cert espiralisme o concepció espiralista, com reflectix l'art del escultor canari Martín Chirino o el pintor cubà Ángelaborde Wilson.

Les espirals en la Naturalea

Erro al crear miniatura:

Dibuix dels Prosobranchia, d'Ernst Haeckel.

L'estudi de les espirals en la naturalea té una llarga història que es remonta a Christopher Wren, qui va observar que moltes closques animals formaven una espiralogarítmica. Jan Swammerdam va observar les característiques comunes d'un ampli palmito de closques, des de la Helix fins a la Spirula, i Henry Nottidge Moseley va descriure la geometria de les closques dels Gastropoda. En Sobre el creiximent i la forma, D'Arcy Wentworth Thompson examina exhaustivament estes espirals. Descriu cóm les closques es formen seguint una curva que trencada entorn a un eix, de modo que la forma de la curva permaneix constant pero el seu tamany aumenta en progressió geomètrica. En algunes closques com nautilus i les amonites la curva generatriz gira en un pla perpendicular a l'eix i la closca es conforma com a figura discoidal plana. En unes atres seguix un patró espacial, en forma d'hèliç. Thompson també va estudiar l'aparició d'espirals en l'anatomia de diverses banyes, pelambres, dents, ungles i algunes plantes. L'illa de Célebes, en el Pacífic, nos dona una idea de figura en espiral.

En la cultura popular

En el video musical de l'aniversari 20 de Cartoon Network, hi ha una part en que Arcoiris d'Adventure Clave s'envol en una llarga espiral d'Arquímedes en el cel mentres està dormint en un món en blanc i negre.

Vore també

• Loxodrómica
• Hèliç
• Coordenades polars
• Evolvente

Bibliografia

• Cook, T., 1903. Spirals in nature and art. Nature 68 (1761), 296.
• Cook, T., 1979. The curves of life. Dover, New York.
• Habib, Z., Sakai, M., 2005. Spiral transition curves and their applications. Scientiae Mathematicae Japonicae 61 (2), 195 – 206.
• Dimulyo, S., Habib, Z., Sakai, M., 2009. Fair cubic transition between two circles with one circle inside or tangent to the other. Numerical Algorithms 51, 461–476 [1] [2] archivat en Wayback Machine..
• Harary, G., Tal, A., 2011. The natural 3D spiral. Computer Graphics Forum 30 (2), 237 – 246 [3].
• Xu, L., Mould, D., 2009. Magnetic curves: curvature-controlled aesthetic curves using magnetic fields. In: Deussen, O., Hall, P. (Eds.), Computational Aesthetics in Graphics, Visualization, and Imaging. The Eurographics Association [4].
• Wang, I., Zhao, B., Zhang, L., Xu, J., Wang, K., Wang, S., 2004. Designing fair curves using monotone curvature pieces. Computer Aided Geometric Design 21 (5), 515–527 [5].

• A. Kurnosenko. Applying inversion to construct planar, rational spirals that satisfy two-point G2 Hermite data. Computer Aided Geometric Design, 27(3), 262-280, 2010 [6].
• A. Kurnosenko. Two-point G2 Hermite interpolation with spirals by inversion of hyperbola. Computer Aided Geometric Design, 27(6), 474-481, 2010.
• Miura, K. T., 2006. A general equation of aesthetic curves and its self-affinity. Computer-Aided Design and Applications 3 (1–4), 457–464 [7].
• Miura, K., Sone, J., Yamashita, A., Kaneko, T., 2005. Derivation of a general formula of aesthetic curves. In: 8th International Conference on Humans and Computers (HC2005). Aizu-Wakamutsu, Japan, pp. 166 – 171 [8].
• Meek, D., Walton, D., 1989. The use of Cornu spirals in drawing planar curves of controlled curvature. Journal of Computational and Applied Mathematics 25 (1), 69–78 [9].
• Farin, G., 2006. Class A Bézier curves. Computer Aided Geometric Design 23 (7), 573–581 [10].
• Farouki, R. T., 1997. Pythagorean-hodograph quintic transition curves of monotone curvature. Computer-Aided Design 29 (9), 601–606.

• Yoshida, N., Saito, T., 2006. Interactive aesthetic curve segments. The Visual Computer 22 (9), 896–905 [11] [12] archivat en Wayback Machine..
• Yoshida, N., Saito, T., 2007. Quasi-aesthetic curves in rational cubic Bézier forms. Computer-Aided Design and Applications 4 (9–10), 477–486 [13] [14] archivat en Wayback Machine..
• Ziatdinov, R., Yoshida, N., Kim, T., 2012. Analytic parametric equations of log-aesthetic curves in terms of incomplete gamma functions. Computer Aided Geometric Design 29 (2), 129 – 140 [15].
• Ziatdinov, R., Yoshida, N., Kim, T., 2012. Fitting G2 multispiral transition curve joining two straight lines, Computer-Aided Design 44(6), 591–596 [16].
• Ziatdinov, R., 2012. Family of superspirals with completely monotonic curvature given in terms of Gauss hypergeometric function. Computer Aided Geometric Design 29(7): 510-518 [17].
• Ziatdinov, R., Miura K. T., 2012. On the Variety of Planar Spirals and Their Applications in Computer Aided Design. European Researcher 27(8-2), 1227-1232 [18].

Enllaços externs

Commons

• Wikimedia Commons alberga contingut multimèdia sobre Espiral.
• Curves Tècniques i Cíclicas per José Antonio Quadrat (15/5/12)