Evolvente

Archiu:Animated involute of circle.gif

Evolvente del círcul.

La evolvente del círcul, a voltes cridada involuta, és una curva plana de desenroll, que les seues normalés són tangentes de la circumferència.

A sovint es traça sense saber-ho: quan un fil tens o un cable es desenrollan d'una bobina circular els seus punts descriuen la evolvente de la circumferència d'eixa bobina.

Va ser estudiada originalment per Christian Huygens, que tractava de dissenyar rellonges de péndola per a us marí. Huygens va utilisar la cicloide per a forçar l'oscilació regular de la péndola. Quan un fil tens es enrolla en una cicloide cada u dels seus punts descriu un cicloide, és dir, la curva de desenroll d'una cicloide és una cicloide, com la d'una circumferència és una evolvente. L'aplicació als perfils de les rodes dentadas va ser proposta per Leonhard Euler.

Definició matemàtica

Archiu:Archimedean-involute-circle-spirals-comparison.svg

La evolvente de la circumferència (en traç negre) és semblant a l'Espiral de Arquímedes (en roig), pero no coincidixen.

La curva es pot definir paramétricamente per mig de la següent equació:

$\{\begin{array}{c}x(t)=k(\cos t+t\mathrm{sen}t)\\ y(t)=k(\mathrm{sen}t-t\cos t)\end{array}$

a on k és el radi en el punt de contacte.

També pot ser definit per una equació intrínseca:

$R_c^2=2ks$, a on $R_c$ representa el radi de curvatura i la $s$ l'abscissa curvilínea.

Propietats i aplicacions

Si es fa rodar sense esmonyida una recta sobre un círcul, cada punt d'esta llínea descriu sobre el círcul una evolvente.

Archiu:Gears large.jpg

Engranages en perfil en evolvente.

Les dents dels engranages rectes tenen perfil de evolvente de circumferència, perque garantisa una relació de transmissió constant i una transmissió d'energia òptima entre els engranages, ya que en el punt de contacte entre dos dents la tangente al perfil és comú a abdós dents.

Atres propietats notables d'engranages de evolvente són les següents:

1. Si una dent d'engranage de perfil de evolvente engrana en una atra dent en el mateix perfil, a velocitat de rotació uniforme, el moviment angular de la roda accionada és uniforme també, inclús quan variem la distància entre eixos.
2. La velocitat de moviment relatiu entre la roda conductora i la roda conduïda d'un engranage està establida pels diàmetros dels seus círculs base.
3. El contacte d'acoplament entre la dent de les rodes conduïda i conductora es produïxen a lo llarc d'una recta tangente al círcul base de les rodes. Esta recta es diu llínea d'acció. Pansa en general entre els círculs base (engranages convencional), pero pot estar fora (en el cridat engranage paradòxic, les rodes del qual giren en el mateix sentit). A lo llarc d'esta recta estan els punts de engrane, en els que l'esmonyida relativa entre les superfícies és zero.
4. Les superfícies de desgast actiu es distribuïx de manera més uniforme.
5. Les vibracions són més baixes que en un atre perfil.

La llongitut de la evolvente és equivalent a $d\cdot {\pi }^2\cdot {\theta }^2$, a on:

• d és el diàmetro del círcul
• π és el número

pi * θ és l'àngul en revolucions

Vore també

• Clotoide
• Desenroll (geometria)
• Engranage
• Espiral
• Christiaan Huygens
• Leonhard Euler