Hèliç (geometria)

Hèliç (geometria)

Animació d'una hèliç.

Una hèliç, en geometria, és el nom que rep tota llínea curva que les seues tangentes formen un àngul constant (α) en una direcció fixa en l'espai.

Equació vectorial

Si la seua equació vectorial és ___*$\overline{R}=\overline{R}(s)$, siendo s el arco, quiere decir que existe un vector unitario $\overline{a}$ fijo tal que per a todo s se verifica $\overline{T}(s)\cdot \overline{a}=\cos \alpha$ (constant).

Teorema de Lancret

Una caracterisació de les hèlices ve donada per la següent teorema coneguda com a teorema de Lancret. És condició necessària i suficient per a que una curva siga una hèliç el que es verifique ___*$\frac{\kappa }{\tau }=\tan \alpha$, siendo $\tan \alpha$ una constante. Aquí $\kappa$ es la curvatura y $\tau$ la torsió.

Hèlices singulars

Les hèlices més singulars són: l'hèliç circular, o hèliç cilíndrica, l'hèliç cònica i l'hèliç esfèrica.

Hèliç cilíndrica

Passe dos a dreta.	Passe dos a esquerra.
Passe tres a dreta.	Passe tres a esquerra.
Passe quatre a dreta.	Passe quatre a esquerra.
D'una entrada a dreta.	D'una entrada a esquerra.
De dos entrada a dreta.	De dos entrada a esquerra.
De tres entrada a dreta.	De tres entrada a esquerra.

Una hèliç cilíndrica és una curva que talla a les generatrices d'un cilindre recte en un àngul constant. És dir, que la distància entre dos punts de tall consecutius de l'hèliç en qualsevol de les mencionades generatrices (rectes parals a l'eix del cilindre i contingudes en la seua superfície externa) és una constant de la curva, independent de la generatriz o els punts triats, cridada "pas d'hèliç".

Expressió analítica

Des d'un punt de vista analític, una hèliç queda definida per les següents expressions paramètriques:

A on r és el radi de gir de l'espiral, ___*$\omega$ es el ángulo girado por unidad de tiempo, t es el tiempo y k es el avance en el sentido z por unidad de tiempo, $ϵ=\pm 1$ segons el sentit siga levógiro (+1) o dextrógiro (-1). Si de la tercera equació:

Forma d'hèliç cònica en la naturalea.

rebugem t:

i ho substituïm en les dos primeres, tindrem:

en lo que tenim:

En lo que queda determinades les coordenades de l'espiral, obtenint-se x i i en funció dels paràmetros de l'espiral i de z.

Propietats

• La proyecció de l'hèliç sobre un pla paral a l'eix del cilindre és una curva sinusoidal.
• La geodèsica d'un cilindre recte de base circular és un arc d'hèliç (és dir, el camí més curt entre dos punts situats en la superfície d'un cilindre, que no ixca de dita superfície, és un tros d'hèliç).
• Per a una hèliç cilíndrica donada per les equacions (3) i d'altura H la llongitut d'arc ve donada per:

• la curvatura de l'hèliç cilíndrica donada per les equacions (3) és constant i ve donada per:

Hèliç cònica

Esta curva està situada sobre un con.

Expressió analítica

Una forma paramètrica convenient per a l'espiral cònica ve donada per

___*$x=t\cos t$

$y=ϵt\mathrm{sen}t$

$z=t/\tan (\alpha )$

donde $\alpha$ es el ángulo de semiobertura del cono sobre el que yace la curva y $ϵ=\pm 1$ controla si la curva és levógira o dextrógira.

Hèliç esfèrica

Es denomina hèliç esfèrica a la continguda en una superfície esfèrica. Per ser hèliç es verificarà ___*$\frac{\kappa }{\tau }=\tan \alpha$ (constante), o lo que es lo misme $\tau =\kappa \cot \alpha$. Por ser una curva esférica la esfera osculatriz será constante, siendo la esfera sobre la que está situada la curva. Entonces, el radio de la esfera osculatriz es constante. Por consiguiente $\frac{1}{{\kappa }^2}+\frac{{\kappa }^{\text{'}2}}{{\kappa }^4{\tau }^2}=a^2$ (constante).

La hélice esférica.

Como $\tau =\kappa \cot \alpha$, será $\frac{1}{{\kappa }^2}+\frac{{\kappa }^{\text{'}2}}{{\kappa }^6{\cot }^2\alpha }=a^2$

Haciendo el cambio $\kappa =\frac{1}{\rho }$, se obté:

${\rho }^2+{\rho }^2{\rho }^{\text{'}2}{\tan }^2\alpha =a^2$, o lo que es lo misme, :$\frac{\rho d\rho }{\sqrt{a^2-{\rho }^2}}\tan \alpha =ds$

Integrando la igualdad anterior se obté: $-\sqrt{a^2-{\rho }^2}\tan \alpha =s+C$. Se puede hacer C = 0, tomando como origen d'arcos el punto en el que $\kappa (s)=\frac{1}{a}$ y por tanto $\rho =a$. Aceptando esta hipótesis y elevando al cuadrado $-\sqrt{a^2-{\rho }^2}\tan \alpha =s$ se obté $a^2-{\rho }^2=s^2{\cot }^2\alpha$. Como: $\rho =\frac{1}{\kappa }$, será: $a^2-\frac{1}{{\kappa }^2}=s^2{\cot }^2\alpha$

y como $\kappa =\tau \tan \alpha$, resulta: $a^2-\frac{{\cot }^2\alpha }{{\tau }^2}=s^2{\cot }^2\alpha$, y por tanto:

$s^2+\frac{1}{{\tau }^2}=a^2{\tan }^2\alpha$

les ecuaciones obtenidas anteriormente determinan les ecuaciones intrínsecas de les hélices esféricas. Despejando ${\kappa }^{2}y{\tau }^2$ se obté:

${\kappa }^2=\frac{1}{a^2-s^2{\cot }^2\alpha }$

${\tau }^2=\frac{1}{a^2{\tan }^2\alpha -s^2}$

En el caso general, se obté como ecuaciones intrínsecas:

${\kappa }^2=\frac{1}{a^2-{(s+C)}^2{\cot }^2\alpha }$

${\tau }^2=\frac{1}{a^2{\tan }^2\alpha -{(s+C)}^2}$

Vore també

• Loxodrómica
• Coordenades polars
• ADN, conegut per la seua estructura de doble hèliç

Enllaços externs

Commons

• Wikimedia Commons alberga contingut multimèdia sobre Hèlices.
• ¿Per qué és l'hèliç una forma tan popular en la Naturalea? [1] archivat en Wayback Machine.
• Plantilla:Mathworld