Regla i compàs

La construcció en regla i compàs és el traçat de punts, segments de recta i ànguls usant exclusivament una regla i compàs idealizados. la geometria clàssica grega va impondre eixa norma per a les construccions, encara que els grecs també varen investigar les que poden obtindre's en instruments menys bàsics. A la regla se li supon llongitut infinita, carència de marques que permeten medir o traslladar distàncies, i una sola vora. Del compàs se supon que es tanca súbitamente quan se separa del paper, de manera que no pot utilisar-se directament per a traslladar distàncies, perque «oblida» la separació de les seues puntes en quant termina de traçar la circumferència. Esta restricció del compàs sembla molt incómoda per als usuaris de compassos reals, pero carix per un atre costat d'importància matemàtica, perque el trasllat de distàncies es pot realisar de forma indirecta. Qualsevol punt que siga obtenible usant regla i compàs pot conseguir-se també usant únicament compàs. Com es vorà, alguns problemes de geometria plana clàssica imponen la restricció de «sol compàs».^{cita requerida}

Els problemes més famosos que es varen propondre per a la seua resolució «en regla i compàs» són la proverbial quadratura del círcul, la duplicació de la gaveta i la trisecció de l'àngul, als que a voltes s'afig la construcció de l'heptàgon regular, el primer dels infinits polígons regulars impossibles de traçar per mig de regla i compàs. Tenen en comú ser de resolució impossible: està matemàticament demostrat que no es pot quadrar el círcul, ni duplicar la gaveta, ni trisecar l'àngul, ni traçar un heptàgon regular usant exclusivament la regla i el compàs idealizados de la geometria grega. Pese a eixa «impossibilitat llògica» insalvable, molts persistixen en l'intent de resoldre estos famosos problemes.^[1] Potser, perque no encerten a explicar-se l'impossibilitat, ya que són resolubles si es permeten transformacions geomètriques que no poden realisar-se en regla i compàs «euclídeos». Duplicar la gaveta és possible utilisant algunes construccions geomètriques que solament requerixen una miqueta més que la regla i el compàs clàssics.

La regla i el compàs de la geometria clàssica

La regla i el compàs de les construccions geomètriques són idealisacions de les regles i compassos del món real. Són conceptes matemàtics abstractes, com puga ser-ho la raïl quadrada, i no instruments físics.

El compàs pot traçar circumferències de qualsevol radi donat, pero a diferència de la majoria de compassos reals, no té cap marca que permeta repetir una obertura predeterminada. Solament pot obrir-se entre punts que hagen segut prèviament construïts, aixina que en realitat la seua única funció és traçar una circumferència, o part d'ella, en un centre predeterminat i un radi també determinat per un punt prefixat. Ademés, es tracta d'un compàs "idealizado", que en quant deixa de tocar el paper es tanca, perdent tot recort del radi de la circumferència que acaba de traçar.

La regla, carix de marques que permeten medir en ella, i solament té una vora, cosa insòlita en les regles mundanes (si tinguera, per eixemple, dos vores, permetria traçar rectes parals). Pot usar-se solament en un fi modest: traçar una recta entre dos punts que ya existixquen en el paper, o be prolongar (tant com es desige, això sí) una d'eixes rectes. Per supost, la regla i compàs ideals deuen usar-se per a fer construccions ideals. Els dibuixos del món real tenen imperfeccions: els punts són en realitat taques tridimensionals, els segments de recta són en realitat cuasi-paralepípedes o «franges» alguna cosa irregulars de cert esgambi i altura, etc. Estes taques proyecten ombres quan són allumenades per llànties especials de llum rasante, que s'utilisen professionalment per a l'estudi de les falsificacions, puix permeten distinguir si un traç està per damunt d'un atre observant les ombres. Pero les construccions en regla i compàs de la geometria clàssica es fan en la ment, més que en el paper, i són tan idealment precises com l'àlgebra. Posades aixina les coses, semblaria que les construccions en regla i compàs són un simple «joc», més que una disciplina científica séria. Buscar la solució a qualsevol construcció particular és un pasatiempo interessant, pero el verdader interés científic, que va estar obert durant més de dos mil anys fins a ser resolt en el XIX, coincidint en la demostració de les teoremes fonamentals sobre equacions polinòmiques, en la comprensió profunda dels número irracional i trascendentes i en l'aparició del àlgebra abstracta, està en els problemes que desborden els llímits de lo factible en regla i compàs. Lo interessant és lo que no es pot fer en regla i compàs. Els tres problemes insolubles clàssics de construcció en regla i compàs són:

Ilustració d'un diccionari d'arquitectura francesa, el *Dictionnaire Raisonné de l'architecture Française du XIe au XVIe siècle* (1856).

Quadratura del círcul: Es tracta de dibuixar un quadrat que tinga la mateixa superfície que un círcul donat. S'aporta com a senya de partida el círcul a quadrar (el seu centre i un dels punts de la seua circumferència), i es considera resolt el problema quan conseguix traçar-se el segment de recta que és un costat del quadrat que iguala l'àrea de dit círcul.

Duplicació de la gaveta: Ha de dibuixar-se el costat d'una gaveta el volum de la qual duplique al d'una atra gaveta del que es dona el costat com a senya de partida.

Trisecció de l'àngul: Deu dividir-se un àngul donat en tres ànguls més chicotets, els tres del mateix tamany, que la seua sumixca siga igual a l'àngul donat. S'aporta com a senya l'àngul a trisecar (les dos rectes que ho formen, o punts que permeten traçar-les) i es consideraria resolt el problema quan es traça un àngul'obertura del qual és un terç de la de l'àngul donat. Estos problemes varen resistir durant 2000 anys els incontables intents de trobar construccions que els resolgueren en regla i compàs, d'acort en les normes abans indicades. A mitan d'el XIX es va demostrar matemàticament que és impossible fer-ho. Els tres problemes clàssics no són els únics la solució dels quals s'ha demostrat impossible. La construcció de determinats (infinits) polígons regulars, com per eixemple l'heptàgon (polígon regular de 7 costats) o el endecágono (polígon regular d'11 costats) també és impossible en regla i compàs.

Història

Els matemàtics clàssics grecs varen ser els qui varen intentar fer construccions en regla i compàs per primera volta; varen descobrir cóm construir sumixques, diferències, productes, raons i raïls quadrades de llongituts donades.^[2] Sabien també bisecar ànguls, doblar quadrats (construir un quadrat en àrea doble d'un dau), construir un quadrat en la mateixa àrea que un polígon donat, i construir polígons regulars de 3, 4 i 5 costats^[2] o un en el doble de costats que un atre dau.^[2] En canvi, no sabien trisecar ànguls llevat en alguns casos particulars, com l'àngul pla, o l'àngul recte, ni construir un quadrat en igual àrea que un círcul donat o polígons en un número de costats distint dels descrits abans (l'heptàgon, per eixemple).^[2] Tampoc eren capaços de construir el costat d'una gaveta el volum de la qual deuria ser el doble que el d'una atra gaveta donada.^[2]

Hipócrates i Menecmo varen mostrar que el volum de la gaveta podia ser doblat trobant interseccions d'hipérboles i paràboles, pero estes no podien ser construïdes en regla i compàs.^[2] En el sigle quint abans de nostra era, Hipias va usar una curva, a la que va cridar cuadratriz, tant per a trisecar l'àngul general com per a portar a terme la quadratura del círcul, i Nicomedes, en el sigle segon abans de Crist va mostrar cóm usar un concoide per a trisecar un àngul arbitrari;^[2] pero cap d'estos métodos podia ser eixecutat per mig de l'us exclusiu de regla i compàs. En dos milenis no es va conseguir cap progrés en estos problemes sense resoldre, fins que, en 1796, Gauss va mostrar que un polígon regular de 17 costats sí podia ser construït en estes ferramentes; cinc anys despuix va demostrar un criteri suficient per a que un polígon regular de ___* $n$ lados fuera construible.^[2]

En 1837, Pierre Wantzel publicó demostraciones de la imposibilidad de la trisecció del ángulo general y de la duplicación del cubo, basades en la imposibilidad de construir raíces cúbicas de longitudes en regla y compás. También demostró que la condición suficiente de constructibilidad de polígonos regulares que había demostrado Gauss era también necesaria.^[3]

Más tarde, en 1882, Lindemann demostró que $π$ és un número trascendente, de lo que es pot deduir que és impossible, només en regla i compàs, la quadratura del círcul.^[2]

Les construccions bàsiques

Totes les construccions en regla i compàs són aplicacions successives de cinc construccions bàsiques, usant en cada una els punts, rectas i círculs que s'hagen creat en fases anteriors. Eixes cinc úniques construccions possibles són:

Erro al crear miniatura:

Construccions bàsiques

Crear el segment de recta que unix dos punts preexistentes (en realitat, la recta: recorde's que la regla és de llongitut infinita).
Crear el círcul en centre en un punt donat i que la seua circumferència toca un atre punt donat
Crear el punt en el que es intersecan dos rectes no parals.
Crear el punt, o la parella de punts, en els que es intersecan (si ho fan) una llínea i una circumferència.
Crear el punt o el parell de punts en els que es intersecan (si ho fan) dos circumferències. Per eixemple, partint de dos punts donats, es pot crear una recta, o be es poden crear dos círculs (cada punt fa de centre d'un círcul i d'extrem d'un atre). Si optem pels dos círculs, la seua intersecció donarà lloc a dos nous punts. Si tracem segments de recta entre els punts originals i un dels nous punts, haurem construït un triàngul equilátero. Aixina que, el problema: "construir un triàngul equilátero dau un dels seus costats (o els punts extrems d'un dels seus costats) és trivialmente resoluble en regla i compàs.

Construccions clàssiques en regla i compàs

Les construccions en regla i compàs més utilisades inclouen les següents:

Construir la mediatriz un segment.
Trobar el punt mig d'un segment.
Dibuixar la recta perpendicular a una atra que passe per un punt donat.
Bisecar un àngul.
Reflectir un punt respecte a una recta.
Construir la recta tangente a una circumferència que passa per un punt donat.
Construir la circumferència que passa per tres punts no alineats.
Construir la recta parala a una atra que passa per un punt donat. A continuació es presenten animacions o imàgens que representen estes construccions en regla i compàs (es poden vore en més detall dins dels artículs enllaçats en l'anterior llista):
Recta tangente a un círculo con centro en $O$ que pasa por $P$ . Se construye una circunferencia de diámetro $O P$ . les rectas que determinades por $P$ y les interseccions $T$ són tangentes al círcul inicial (vore en enllaç en la llista anterior)
Erro al crear miniatura:

Parala a una recta per un punt donat. Els arcs traçats en el mateix color corresponen a ràdios iguals.

Punts i llongituts construibles

Un dels objectius d'este artícul és demostrar l'impossibilitat de certes construccions només en regla i compàs. Hi ha moltes formes distintes de demostrar que alguna cosa és impossible. L'estratègia que se seguirà en este artícul per a presentar un esquema informal de les demostracions d'impossibilitat dels problemes clàssics és la de determinar en primer lloc els llímits de la regla i el compàs —lo que es pot fer i lo que no es pot fer en ells—, i mostrar seguidament que per a resoldre els problemes deurien superar-se tals llímits. Usant regla i compàs es poden definir coordenades en el pla. Es partix de dos punts que han de considerar-se «donats», i es traça la recta que passa per abdós. Es diu al resultat «eix ___* $X$ », y se define la longitut entre els dos puntos dados como unidad de longitut. Por tanto, tener dos puntos como datos de partida es equivalente a tener un eje de coordenades y una unidad de longitut. Ahora bien: una de les construccions más sencillas en regla y compás es la de trazar una recta perpendicular a atra dada, como se ha dicho en el apartado anterior, así que se hace precisamente eso, con lo que se obté un «eje $Y$ ». Así pues, tener dos puntos como datos es equivalente a tener un sistema de coordenades cartesianas, con ejes $X$ e $Y$ , y con unidad de distancia. Tenemos pues un plano euclídeo. Por atre lado, un punto $(x, y)$ en el plano euclídeo puede identificarse con el número complejo $x + y i$ . Se puede identificar el espacio creado con dos puntos dados, por tanto, con el conjunto de números complejos. Enunciamos ahora la definición de constructibilidad: Si, dado un punto cualquiera en el plano complejo, este se puede obtener por aplicaciones sucesivas de la regla y el compás (diremos que se puede construir) entonces se podrá decir que ese punto es un número complejo construible. Por ejemplo, si se dan dos puntos como datos, els números complejos $1$ , $- 1$ , $1 + i$ , $1 - i$ , etc. són fácilmente construibles. d'hecho, con construccions conocidas de la geometría euclidiana se pueden construir els números complejos de la forma $a + b i$ siempre que $a$ y $b$ sean números racionals. De modo más general, usando les mismas construccions, uno puede, dados dos números complejos $z$ y $w$ , construir $z + w$ , $z - w$ , $z \cdot w$ , y $z / w$ . Esto se puede demostrar como sigue:


Construcció en regla y compás del producto y la razón de números racionals
$x = a \cdot b$	$x = a / b$

Esto muestra que els números construibles forman un cuerpo, que por tanto es un subcuerpo dels números complejos. Puede demostrarse algo más: dada una longitut construible es posible construir su conjugado y su raíz cuadrada. El conjugado d'un número complejo $z = a + b i$ viene dado por la siguiente fórmula: $\bar{z} = a + (- b) i$ , y se puede construir, porque es resta de números construibles. per a la raíz cuadrada, la d'un complejo se puede expresar algebraicamente como $\sqrt{a + b i} = \sqrt{\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}} + a}{2}} + i sgn (b) \sqrt{\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}} - a}{2}},$ como se afirma en el artículo sobre raíces cuadrades. Todas les operaciones que se utilizan ya ha sido demostrado que són construibles, excepto la raíz cuadrada d'un número racional. En efecto, también la podemos construir mediante el uso de regla y compás como sigue. Sea $a$ el racional del que queremos construir la raíz cuadrada. Seguimos els siguientes pasos:

Erro al crear miniatura:

x = \sqrt{a}

Construimos un segmento de longitut $a$ y, a continuación, uno de longitut $1$ .
Hallamos el punto medio $M$ d'este segmento.
Construimos la circunferencia de centro $M$ que pasa pels extremos del segmento antes construido.
Desde el final del segmento de longitut $a$ construimos una perpendicular a ese misme segmento.
Consideramos la intersecció d'esta perpendicular y la circunferencia.
La distancia entre este punto y el final del segmento de longitut $a$ es, por el teorema de Pitágoras y por semejanza de triángulos, $\sqrt{a}$ , como se ve en la figura. Recíprocamente, como el uso d'herramientas está restringido a la regla y el compás, les únicas formas de construir puntos nuevos es como intersecció de dos rectas, o d'una recta y una circunferencia, o de dos circunferencias. Usando les ecuaciones de les rectas y de les circunferencias, puede demostrarse que els puntos en els que se intersecan yacen en una extensión cuadrática del cuerpo más pequeño, $F$ , que contenga dos puntos en la recta, el centro del círculo, y el radio del círculo. Es decir, que els puntos con intersecció són de la forma $x + y \sqrt{k}$ , donde $x$ , $y$ y $k$ están en $F$ . Es decir, al principio podemos construir el cuerpo $F_{0} = ℚ$ todos els números racionals (y, con ello, els complejos con coeficientes racionals); podemos, despuix, tomar la raíz de cualquier número racional y construir el cuerpo $F_{1}$ con números de la forma $x + y \sqrt{k}$ , con $x, y, k$ racionals y $k$ el racional del que hemos construido la raíz. Podemos continuar tomando un elemento cualquiera de $F_{1}$ como, por ejemplo, $k = \frac{1}{2} - \frac{2}{15} \sqrt{\frac{3}{5}}$ , tomando su raíz y construyendo el cuerpo $F_{2}$ d'elementos de la forma $x + y \sqrt{k}$ con $x, y \in F_{1}$ . Y así sucesivamente podemos construir raíces cuadrades de combinaciones de raíces cuadrades, etc. y construir números como, por ejemplo, $- \frac{1}{16} + \frac{1}{16} \sqrt{17} + \frac{1}{16} \sqrt{34 - 2 \sqrt{17}} + \frac{1}{8} \sqrt{17 + 3 \sqrt{17} - \sqrt{34 - 2 \sqrt{17}} - 2 \sqrt{34 + 2 \sqrt{17}}}$ . Es decir, dado que el cuerpo dels puntos construibles es cerrado per a les raíces cuadrades, contiene a todos els puntos que puedan obtenerse por una secuencia finita d'extensiones cuadráticas con coeficientes racionals del cuerpo dels números complejos. Por lo dicho en el párrafo anterior, todo punto construible puede obtenerse por una tal secuencia d'extensiones. Como corolario, se encuentra que el grado del polinomio mínimo per a un número construible (y por tanto per a cualquier longitut construible) es una potencia de 2. En particular cualquier punto o longitut construible es un número algebraico, sin embargo no cualquier número algebraico puede ser construido. Tenemos pues que $(construible \Leftrightarrow expresable como secuencia d'extensiones cuadráticas)$ o, equivalentemente, $(no construible \Leftrightarrow no expresable como secuencia d'extensiones cuadráticas)$ . La herramienta per a demostrar que ciertas construccions són imposibles será esta: deduciremos que per a hacer la construcció en cuestión es necesario construir un cierto número que no será expresable como secuencia d'extensiones cuadráticas, luego el número no será construible y la construcció será, por tanto, imposible. Por ejemplo, en la duplicación del cubo este número será $\sqrt[3]{2}$ .

Ànguls construibles

Hi ha una biyecció entre els ànguls construibles i els punts que són construibles en qualsevol circumferència construible. Els ànguls construibles formen un grup abeliano baix la suma-mòdul ___* $2 π$ (que se corresponde con la multiplicación dels puntos sobre la circunferencia unitaria, considerados como números complejos). els ángulos construibles són exactamente aquellos cuya tangente (o equivalentemente, su seno o su coseno) es un número construible. Por ejemplo, el heptadecágono regular (polígono de 17 lados iguals) es construible porque:

Erro al crear miniatura:

Funciones trigonométricas.

$\cos (\frac{2 π}{17}) = - \frac{1}{16} + \frac{1}{16} \sqrt{17} + \frac{1}{16} \sqrt{34 - 2 \sqrt{17}} + \frac{1}{8} \sqrt{17 + 3 \sqrt{17} - \sqrt{34 - 2 \sqrt{17}} - 2 \sqrt{34 + 2 \sqrt{17}}}$ ,

como descubrió Gauss.^[4]

En efecto, si el coseno d'un ángulo es construible, construimos un segmento d'esa longitut en el eje $X$ desde el origen y trazamos la perpendicular a ese eje pasando por el extremo del segmento anterior. Si ahora construimos con el compás una circunferencia de radio unidad centrada en el origen y consideramos el punto donde esta corta la perpendicular anterior, el segmento que une este punto con el origen forma, por definición de coseno, el ángulo deseado con el eje $X$ . Además, que el coseno sea construible es equivalente a que lo sean el seno y la tangente, porque la existencia de cualquiera d'ellos, por un procedimiento parecido al anterior, permite construir en regla y compás la figura de la derecha, donde están construidos todos. Podemos decir que el heptadecágono es construible porque, al ser construible el ángulo que forman dos vértices consecutius respecte del origen, podemos fijar el primer vértice e ir construyendo els siguientes a ese ángulo dels anteriors. En general, un $n$ -ágono es construible si lo es el ángulo $\frac{2 π}{n}$ , es decir, como hemos visto antes, si $\cos (\frac{2 π}{n})$ (o equivalentemente el sen o la tangente) és construible. El grup dels ànguls construibles és tancat baix l'operació que biseca els ànguls (que es correspon en l'obtenció de raïls quadrades), perque, com s'ha escrit més dalt, donat un àngul, podem construir en regla i compàs el seu àngul mitat. Els únics ànguls d'orde finito que poden construir-se escomençant en dos punts són aquells l'orde dels quals és el producte d'una potència de 2 per un element d'un conjunt de diversos número primo de Fermat. Ademés, hi ha un conjunt dens d'ànguls construibles d'orde infinit.

Construccions en regla i compàs com a operacions d'aritmètica complexa

Donat un conjunt de punts en el pla euclídeo, basta seleccionar qualsevol d'ells per a cridar-ho 0 i qualsevol un atre per a cridar-ho 1, i elegir arbitrariamente una orientació, per a poder considerar els punts com un conjunt de número complejo. Donada qualsevol de tals interpretacions d'un conjunt de punts com a número complejo, els punts construibles utilisant construccions vàlides en regla i compàs són precisament els elements del mínim cos que conté al conjunt de punts original, i que és tancat sobre les operacions de conjugació de complexos i raïl quadrada (per a evitar ambigüitats, pot llimitar-se la raïl quadrada, imponent que l'argument complex siga menor de ___* $π$ ). els elementos d'este cuerpo són precisamente aquellos que pueden expresarse como una fórmula en la que intervienen els puntos originals y que solo incluye les operaciones de suma, resta, multiplicación, división, complejo conjugado y raíz cuadrada. Es fácil demostrar que els elementos así obtenidos són un subconjunto numerable, pero denso, del plano complejo. Cada una de les seis operaciones citades se corresponde con una construcció simple en regla y compás. Por tanto, de la fórmula que define un número puede extraerse directamente la secuencia de construccions simples en regla y compás que hay que realizar per a construir el punto reflejado por la fórmula. En suma: si se aporta un conjunto de puntos (números complejos) como datos inicials, y se pide la construcció d'atre número complejo, que depende dels datos a través d'una fórmula que solo contiene sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, conjugación de complejos y raíces cuadrades, ese número "objetiu" es siempre construible en un número finito de pasos (de les construccions básicas que se han descrito arriba), pasos que además se deducen automáticamente de la fórmula, aunque en muchos casos pueden encontrarse construccions alternatives más eficientes, atajos de menos pasos. Hay una alternativa que evita la elecció arbitraria de dos puntos per a que hagan de 0 y de 1. Dada una orientación arbitrariamente elegida, un conjunto de puntos determina un conjunto de ratios complejas dadas por la razón entre les diferencias de cualesquiera dos pares de puntos. El conjunto de ratios d'ese tipo construible usando regla y compás a partir de tal conjunto inicial de ratios es precisamente el cuerpo más pequeño dels que contienen els ratios originals, y es cerrado per a la conjugación compleja y la raíz cuadrada. Por ejemplo, la parte real, imaginaria, y el módulo d'un punto o ratio $z$ (eligiendo uno dels dos puntos de vista antes descritos, el d'asignar arbitrariamente puntos 0 y 1 o el de trabajar con ratios) són construibles, dado que pueden expresarse como:

ℜ (z) = \frac{z + \bar{z}}{2}

ℑ (z) = \frac{z - \bar{z}}{2}

| z | = \sqrt{z \bar{z}}

La duplicación del cubo y la trisecció del ángulo requieren ratios que són solución d'ecuaciones cúbicas, en tanto que la cuadratura del círculo requiere un ratio trascendente. Ninguno d'esos casos forma parte dels cuerpos antes descritos, y por tanto no existe construcció en regla y compás per a estos problemas. Una excepción, en el caso de la trisecció del ángulo, se da con ángulos especials como cualquier $ϕ$ tal que $\frac{ϕ}{6 π}$ siga un número racional que tinga com denominador el producte d'una potència de dos i de distints número primo de Fermat.

Construccions impossibles

Els antics grecs pensaven que els problemes que no sabien resoldre eren simplement difícils, no irresolubles.^[5] En els métodos moderns, no obstant, s'ha demostrat de forma llògica que eixes construccions són impossibles de realisar. (Els problemes, en canvi, sí que són possibles; basta eliminar la restricció d'haerlos només en regla i compàs, com ya sabien els grecs.)

Quadratura del círcul

Artícul principal → Quadratura del círcul.

Erro al crear miniatura:

Quadratura del círcul

El més famós dels problemes grecs, la quadratura del círcul planteja la construcció d'un quadrat la superfície del qual siga la mateixa que la d'un círcul donat; i, per supost, resolt en regla i compàs. S'ha demostrat que quadrar el círcul d'esta forma és impossible, ya que implica trobar un número trascendente, a saber ___* $\frac{1}{\sqrt{π}}$ . Usant regla i compàs solament és possible generar número algebraico, i, de fet, no tots ells, com s'ha discutit prèviament. La frase "quadratura del círcul" o "quadrar el círcul" s'usa freqüentment en el sentit de "fer alguna cosa impossible". En gran fortuna, ya que és tan impossible com obtindre alguna cosa distint de quatre sumant dos més dos, o dibuixar en el pla euclídeo un triàngul que tinga els tres ànguls obtusos. No obstant, si no s'exigix resoldre el problema en solament regla i compàs, resulta senzill fer-ho en una àmplia varietat de métodos geomètrics i algebraics. El problema va ser resolt d'esta forma moltes voltes, ya en l'antiguetat.

Duplicació de la gaveta

Artícul principal → Duplicació de la gaveta.

Duplicar la gaveta consistix en construir el costat d'una gaveta que tinga el doble de volum que una atra gaveta el costat de la qual es dona com a senya del problema. Per supost, deu fer-se en regla i compàs. És impossible, perque la raïl cúbica de 2, pese a ser un número algebraico, no pot obtindre's dels número entero per suma, resta, multiplicació, divisió i extracció de raïls quadrades, que són les úniques operacions que poden fer-se en regla i compàs. Açò és aixina perque el polinomi mínim de la raïl cúbica de 2 sobre els racionals té grau 3. Una demostració en detalle es pot llegir en l'artícul específic sobre la duplicació ya citat. No obstant, n'hi ha prou en que es permeta utilisar una regla en dos marques i un compàs per a que siga possible duplicar la gaveta. Una construcció en estes ferramentes es descriu en el mateix artícul.

Trisecció de l'àngul

Artícul principal → Trisecció de l'àngul.

Partint d'un àngul donat, trisecarlo significa construir un àngul que medixca just un terç de l'àngul donat. Es demostra que això requerix obtindre la raïl cúbica d'un número complejo qualsevol, en valor absolut 1; i açò resulta impossible fer-ho només en regla i compàs. Es pot esbossar una demostració més completa per al cas de que l'àngul siga de 60°; havent demostrat l'impossibilitat per a este àngul particular, haurem demostrat de fet l'impossibilitat d'una construcció per a un àngul general, puix esta tindria que valdre per al cas concret de 60°. Vejam la demostració en detalle per a este àngul. Si fora trisecable, podríem construir l'àngul de 20° i, llavors, el polinomi mínim de ___*

\cos (2 0^{\circ})

tendría que ser d'un grado potencia de dos (2,4,8,...). Esto es así porque, como se ha visto antes, construir un ángulo equivale a construir un punto en la circunferencia que subtienda ese ángulo, por lo que tangente, seno y coseno del ángulo deberían ser números construibles, y ya se ha visto que solo els que resultan de polinomios de grado potencia de 2 són construibles. Usando l'identidad trigonométrica

$\cos (3 α) = 4 \cos^{3} (α) - 3 \cos (α)$

se obté, haciendo

\cos (2 0^{\circ}) = : y

, que

$1 = 2 \cos (6 0^{\circ}) = 8 \cos^{3} (2 0^{\circ}) - 6 \cos (2 0^{\circ}) = 8 y^{3} - 6 y \Rightarrow 8 y^{3} - 6 y + 1 = 0$

de modo que, con el cambio de variable

x : = 2 y

,

$x^{3} - 3 x + 1 = 0$
.

Si ese polinomio pudiera reducirse a grado 2, tendría una raíz racional que, por el teorema de la raíz racional, debería ser 1 o −1, que evidentemente no són raíces (basta una comprobación). Por lo tanto, el polinomio mínimo per a

\cos (2 0^{\circ})

es de grado 3, es decir,

\cos (2 0^{\circ})

no es raíz de ningún polinomio de grado 2, de modo que

\cos (2 0^{\circ})

no es construible y por tanto el ángulo de 60° no puede ser trisecado.

◻

La trisecció de l'àngul, com moltes atres construccions impossibles en regla i compàs, pot portar-se a terme fàcilment en el sistema més potent, encara que físicament siga molt senzill, de papers doblats denominat origami. Els axioma d'Huzita (tipos d'operacions de doblat) permeten construir extensions cúbiques (raïls cúbiques) de llongituts donades, mentres que en regla i compàs solament poden construir-se extensions quadràtiques (raïls quadrades). Vore matemàtiques de la papiroflexia per a més informació sobre este tema.

Construcció de polígons regulars

Artícul principal → polígon construible.

Alguns polígons regulars (eixemples són l'hexàgon i el pentàgon) són fàcilment construibles en regla i compàs; uns atres no. Açò nos du a la pregunta: ¿és possible construir qualsevol polígon regular en regla i compàs? El primer alvanç rellevant per a resoldre este problema es deu a Gauss, que va mostrar en 1801 que un polígon regular de n costats pot construir-se en regla i compàs sempre que els factors primers impars de n siguen primers de Fermat distints. Gauss conjeturó que esta condició devia ser també necessària, pero no va aportar una demostració d'este fet, que va ser conseguida per Pierre Wantzel en 1837. Els primers polígons regulars construibles tenen els següents números de costats:

3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96, 102, 120, 128, 136, 160, 170, 192, 204, 240, 255, 256, 257, 272... [1]

Se sap que hi ha infinits polígons construibles en un número par de costats (perque, com la bisecció d'un àngul és construible, donat un polígon de ___*

n

construible, se pueden construir els de

2 n, 4 n, 8 n, \dots

; basta basta bisecar cada àngul entre dos vèrtiços consecutius). No obstant, només es coneixen 31 polígons regulars construibles en un número impar de costats.

Construccions de figures inscrites dins d'unes atres

Erro al crear miniatura:

Círcul inscrit dins d'un segment circular. (format interactiu geogebra. org/m/hrhgw2aw ací)

Són molt comuns els problemes a on es busca inscriure una figura dins d'una atra, per eixemple: inscriure un círcul dins d'un triàngul, o viceversa. Per a això s'apliquen diferents passos com la bisecció dels ànguls interns d'un triàngul, per a trobar el seu circumcentre, etc. Ací un eixemple una miqueta més complex sobre la construcció d'un círcul inscrit dins d'un segment circular (figura en la dreta i construcció interactiva geogebra. org/m/hrhgw2aw ací). Note's que el círcul chicotet té una tangente comuna en el círcul que ho conté; estes consideracions es prenen en conte per a trobar una construcció adequada en funció de les condicions que s'otorguen. En este cas, la condició és que donada la distància ___* $\overline{C D}$ , se construya un círculo inscrito dentro del segmento circular, tal que $\overline{C B}$ i el círcul exterior siguen tangentes al círcul interior.

Construccions solament en regla o solament en compàs

És possible, d'acort en el teorema de Mohr-Mascheroni, obtindre solament en compàs qualsevol construcció que puga fer-se en regla i compàs (llevat el fet de traçar una recta). És impossible obtindre una raïl quadrada solament en regla, de modo que moltes construccions factibles en compàs no ho són en regla. Pero el teorema de Poncelet-Steiner demostra que n'hi ha prou en dispondre prèviament d'un únic círcul i el seu punt central per a que tot lo construible en compàs lo siga també solament en regla (i el círcul i el seu centre prèviament traçats).

Construccions esteses

Regles marcables

Arquímedes i Apolonio de Pérgamo varen realisar construccions en «regla marcable», una regla en la que es puguen dibuixar ralles per a guardar memòria exacta de distàncies. Açò els permetia, per eixemple, partir d'un segment de recta, dos rectes (o círculs) i un punt, i traçar una nova recta que passara pel punt donat i es intersecara en les dos rectes inicials, de modo que la distància entre els punts d'intersecció igualara la llongitut del segment donat. Esta construcció, cridada neusis (inclinament, tendència), crea un segment de recta de tamany prefixat, que complix la condició de tocar en els seus extrems les dos rectes donades, i ademés passa pel punt donat, al que sol cridar-se «pol». Açò va estendre la geometria més allà dels Elements d'Euclides. Euclides no tenia cap axioma, ni podia demostrar cap teorema, que mostrara siquiera l'existència de la neusis, de modo que no podia usar-la en les construccions. En esta geometria expandida, qualsevol distància la raó de la qual a una distància donada siga la solució d'una equació cúbica o cuártica és construíble. De manera que si es permet usar regles marcables, i com a conseqüència es permet la neusis, la trisecció de l'àngul^[6] i la duplicació de la gaveta poden conseguir-se. La quadratura del círcul, en canvi, seguix sent impossible. Alguns polígons regulars no construibles en regla i compàs clàssics, com l'heptàgon, ho són en regla marcable.^[7] En neusis i tot, no obstant, seguix sent impossible construir molts (de fet, infinits) polígons regulars, escomençant pel d'onze costats (endecágono).

Origami

De modo similar, la teoria matemàtica del origami, o papiroflexia sense cap instrument, solament en fulls de paper, resulta més potent que la regla i compàs clàssics. Igual que la regla marcable, el origami permet resoldre equacions cúbiques, lo que a la seua volta obri la resolució de cuárticas, la duplicació de la gaveta i la trisecció de l'àngul. S'ha demostrat que els punts construibles per papiroflexia són exactament els mateixos que en regla marcable i compàs; en particular, tampoc el origami permet resoldre la quadratura del círcul. Es poden fer també figures de diversos models en el origami o papiroflexia tan sol en un full de paper.

El cos estés

En térmens abstractes, l'us d'estes ferramentes més potents, ya siga la neusis de la regla marcable o el origami o papiroflexia, estenen el cos dels números construíbles a un subcuerpo més ampli dels número complejo, que no solament conté la raïl quadrada, sino també la raïl cúbica de qualsevol element (Com sempre, podem evitar l'ambigüitat sobre de quina raïl cúbica estem parlant quedant-nos solament en els arguments complexos menors que ___* $\frac{2 π}{3}$ , per a que hi haja una sola). Les fòrmules aritmètiques dels punts construíbles que hem descrit més dalt tenen les seues anàlogues en este cos estés, permetent ara fòrmules que inclouen també raïls cúbiques.

Trisectar un segment de recta

És possible trisectar un segment, inclús, dividir-ho en quantes parts es desige, fent us del primer Teorema de Tals.

Procediment geomètric de trisecció d'un segment de recta

Aixina donat un segment de recta AB és possible dividir-ho en tres parts iguals s'indica puixque ha de traçar-se un atre segment de recta que el seu extrem coincidixca en algun extrem d'AB se seguix en el traç d'una circumferència en centre en el punt de coincidència d'abdós segments, inclós AB, -El radi de la circumferència deu ser igual que la mitat d'AB per ad açò bisecte i trobe aixina per mig del punt mig-. Trace una segona circumferència en centre en el punt d'intersecció de la primera circumferència en el segon segment de recta, el radi és igual al de la primera circumferència, seguixca novament en cerciorar-se que existixen dos punts d'intersecció entre la segona circumferència i el respectiu segment de recta de lo contrari prolongue el segment i en ser-ho aixina seguixca en el traç d'una tercera circumferència prop al vèrtiç en oposició a aquell en que coincidixen abdós segments de recta; (Excloent els punts d'intersecció en el segment AB ademés en el punt de coincidència d'abdós segments corresponents al centre de la primera circumferència, són tres punts). Designe's els punts d'intersecció en aument a partir del vèrtiç:1,2 i 3. Finalment es traça des del punt 3 un segment de recta fins a l'extrem contrari al vèrtiç del segment AB, comprove's en figurar un triàngul. Cada recta parala d'aquell segment de recta que ademés creue els punts 2 i 3 intersecara el segment de recta AB partint en tres parts.

Investigacions recents

Simon Plouffe ha escrit un artícul en el que mostra cóm la regla i el compàs poden usar-se com una senzilla computadora, dotada d'insospitada potència de càlcul.^[8]

Vore també

Referències

↑ El matemàtic Underwood Dudley ha treballat en la recopilació de falses demostracions "en regla i compàs", aixina com d'atres excentricitats matemàtiques, que ha compilado en varis llibres.
↑ ^2,0 ^2,1 ^2,2 ^2,3 ^2,4 ^2,5 ^2,6 ^2,7 ^2,8 Bold, Benjamin. Famous Problems of Geometry and How to Solve Them, Dover Publications, 1982 (orig. 1969).
↑ Kazarinoff, Nicholas D. (2003) [1970]. Ruler and the Round. Mineola, N. Y.: Dover. pp. 29-30.
↑ coseno de pi/17 en MathWorld.
↑ Stewart, Ian. Galois Theory. p. 75
↑ Vejau Plantilla:IMMP
↑ John H. Conway ha aportat construccions d'alguns. Conway, John H. and Richard Guy: The Book of Numbers.
↑ Plouffe, Simon. "The Computation of Certain Numbers Using a Ruler and Compass." Journal of Integer Sequences, Vol. 1 (1998), artícul 98.1.3.

Enllaços externs

Este artícul conté una traducció derivada de «Regla y compás» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] El matemàtic Underwood Dudley ha treballat en la recopilació de falses demostracions "en regla i compàs", aixina com d'atres excentricitats matemàtiques, que ha compilado en varis llibres.

[:0-2] 2,0 ^2,1 ^2,2 ^2,3 ^2,4 ^2,5 ^2,6 ^2,7 ^2,8 Bold, Benjamin. Famous Problems of Geometry and How to Solve Them, Dover Publications, 1982 (orig. 1969).

[3] Kazarinoff, Nicholas D. (2003) [1970]. Ruler and the Round. Mineola, N. Y.: Dover. pp. 29-30.

[4] seno de pi/17 en MathWorld.

[5] Stewart, Ian. Galois Theory. p. 75

[6] Vejau Plantilla:IMMP

[7] John H. Conway ha aportat construccions d'alguns. Conway, John H. and Richard Guy: The Book of Numbers.

[8] Plouffe, Simon. "The Computation of Certain Numbers Using a Ruler and Compass." Journal of Integer Sequences, Vol. 1 (1998), artícul 98.1.3.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]