Raïl cúbica

Representació gràfica de la funció: $y=\sqrt[3]{x}$

La raïl cúbica, $(y=\sqrt[3]{x})$ en el sistema dels número real, estrictament, és la funció inversa de la funció $y=x^3$ (potència de tercer grau). L'extracció de la raïl cúbica de qualsevol número real pot admetre's com una operació unaria dels reals en els reals.

L'operació de calcular la raïl cúbica es pot efectuar, sense restriccions, en el camp ordenat dels número real, certament, en aproximacions decimals prefixades en la majoria dels casos. És associativa en la potenciació i distributiva respecte la multiplicació i divisió d'número real, pero no és associativa ni distributiva en l'adició o la resta. La raïl cúbica manté el signe del radicant.

Històricament, el famós problema de la duplicació de la gaveta, estudiat per Arquitas de Tarento, va plantejar la solució a través de la raïl cúbica de 2. Esta qüestió no es va resoldre en l'aritmètica dels número racional, tampoc en la construcció geomètrica a través de regla i compàs.

Per a facilitar el càlcul de la raïl cúbica, es feya us de logaritmos i les seues propietats sobre les raïls usant taules i també per mig de la regla de càlcul; En l'actualitat, es treballa en les calculadores.

Definició formal

Representació complexa de la raïl cúbica.

Les raïls cúbiques d'un número x són números i que satisfan l'equació

Número real

Si x i i són reals, llavors existix una única solució tal que l'equació té ademés una única solució, i esta correspon a un número real. Si s'ampra esta definició, la raïl cúbica d'un número negatiu és també un número negatiu. D'esta forma, la raïl cúbica de x és representada igualment per:

Si x i i són abdós complexos, llavors es pot dir que posseïx tres solucions (si x és no nul) i aixina x té tres raïls cúbiques: una raïl real i dos complexes, en la forma de parell conjugat. Este fet deixa interessants resultats dins de les matemàtiques. Per eixemple, les raïls cúbiques del número un són:

$\sqrt[3]{1}=\{\begin{array}{c}1\\ -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\\ -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\end{array}$

Estes dos raïls es relacionen en totes les atres raïls cúbiques d'atres números. Si un número és raïl cúbica d'un número real les raïls cúbiques poden ser calculades multiplicant el número per les raïls de la raïl cúbica d'un.

Número complejo

En el cos dels número complejo, la raïl cúbica respon a la solució de l'equació

$z^3-a=0$

a on a és qualsevol número complejo no nul. El conjunt solució involucra tres valors distints; si z és un complex real un dels valors és número real; els atres dos són complexos, sense cap part nula.

Per als número complejo, el valor principal de les raïls cúbiques es definix com:

$z^{\frac{1}{3}}=\exp \left(\frac{\mathrm{Log}z}{3}\right)$

A on Log(z) és la branca principal del logaritmo complex. Si s'escriu z com

$z=r\exp (i\theta )$

A on r és un número real positiu i $\theta$ cau en el ranc:

$-\pi <\theta \le \pi$,

llavors la raïl cúbica és

$\sqrt[3]{z}=\sqrt[3]{r}\exp \left(\frac{i\theta }{3}\right)$.

Açò significa que en coordenades polars en prendre la raïl cúbica d'un número complejo s'està prenent la raïl cúbica del radi i l'àngul polar s'està dividint en tres parts de tal forma que definix les tres raïls. En esta definició, la raïl cúbica d'un número negatiu és un número complejo, i per eixemple $\sqrt[3]{-8}$ no serà -2, sino $1+i\sqrt{3}$. En aquells programes que accepten resultats imaginaris (tals com Mathematica), el grafo de la raïl cúbica de x en el pla dels número real donarà com resultats valors negatius de la raïl per igual.

Números cuaterniónicos

De la mateixa manera que succeïx en la raïl quadrada de números cuaterniónicos, succeïx que un número cuaterniónico pot admetre infinites raïls cúbiques. Açò contrasta en el cas dels reals i complexos, a on per eixemple -1 té un número finito de raïls cúbiques (una en els reals i tres en els complexos). No obstant, en els números cuaterniónicos $ℍ$ hi ha un número infinit de raïls cúbiques de -1. Per a vore açò, siga q = a + bi + cj + dk un cuaternión, i suponga's que la seua gaveta és −1:

$(a+bi+cj+dk{)}^3=-1\Rightarrow a[a^2-3(b^2+c^2+d^2)]+[3a^2-(b^2+c^2+d^2)](bi+cj+dk)=-1$

En térmens de a, b, c i d eixa assunció implica que

Una possible solució és $a=-1,b=c=d=0$ pero ademés d'esta existix un número infinit de solucions adicionals que juntes formen la superfície d'una 2-esfera de radi $\sqrt{3}/2$ continguda ${ℝ}^4\approx ℍ$. Açò es pot vore prenent $b,c,d$ de manera que $b^2+c^2+d^2=3a^2$ (equació d'una 2-esfera), aixina es complixen les tres últimes equacions. Subtsituyendo açò en la primera, veem que esta també se satisfà si $a=1/2$:

Per tant, queda demostrat que l'equació $q^3=-1$ admet infinites solucions en $ℍ$

Métodos numèrics

El método de Newton és un método iterativo que pot ser usat per a calcular la raïl cúbica. Per a número real representats per mig de menge flotant, este método es reduïx al següent método iterativo per a produir successives millors aproximacions de la raïl cúbica de a:

$x_{n+1}=\frac{1}{3}(\frac{a}{x_n^2}+2x_n).$

Si es pren $x_1$ per excés $x_1>\sqrt[3]{a}$ la successió anterior és monòtona decreixent i el seu llímit és precisament la raïl cúbica. Per eixemple si $a=30$, prenent $x_1=4$, ya que $4^3>30$; s'obté:

$x_1=4;,x_2=3,29167;x_3=3,11737;x_4=3,10727;x_5=3,10723$

valor que ya està molt propenc a $\sqrt[3]{30}\approx 3,107232506\dots$

Vore també

• Funció raïl
• Método de Newton-Raphson
• Radical jerarquizado
• Raïl quadrada
• Radicació