Radical jerarquizado

En àlgebra els radicals jerarquizados són les expressions radicals que contenen en el seu interior una atra expressió radical. Com en estos eixemples:

$\sqrt{5-2\sqrt{5}}$

$\sqrt{5+2\sqrt{6}}$

$\sqrt[3]{2+\sqrt{3}+\sqrt[3]{4}}$

Resoldre estes raïls es considera generalment un problema difícil. Una classe especial de radical jerarquizado pot ser resolt si s'assumix que la solució és una suma de dos raïls:

$\sqrt{a+b\sqrt{c}}=\sqrt{d}+\sqrt{e},$

$a+b\sqrt{c}=d+e+2\sqrt{de};$

Cas usual

$\sqrt{A\pm \sqrt{B}}=\sqrt{x}\pm \sqrt{y}$. Llavors

$x=\frac{A+C}{2}$

$y=\frac{A-C}{2}$ a on $C=\sqrt{A^2-B}$

Radicals infinitament jerarquizados

En raïls quadrades

L'identitat:

$2=\sqrt{2+2}$

implica que

$2=\sqrt{2+\sqrt{2+2}}$, i per repeticions successives:

$2=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots }}}}$

Per raons anàlogues s'obté:

$3=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\cdots }}}}$

a partir de l'expressió:

$\begin{array}{ccc}3& =& \sqrt{3+3+3}\\ & =& \sqrt{6+3}\\ & =& \sqrt{6+\sqrt{6+3}}\end{array}$

o que:

$4=\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\cdots }}}}$;

...

De lo anterior, es deduïx que si r és un número estrictament superior a un,

$r=\sqrt{r(r-1)+\sqrt{r(r-1)+\sqrt{r(r-1)+\sqrt{r(r-1)+\cdots }}}}$

Baixe certes raïls quadrades infinitament jerarquizadas, com per eixemple:

$x=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots }}}}$

es poden representar els número racional. Este número racional pot ser trobat fent que també x aparega baix el signe radical, lo que dona l'equació:

$x=\sqrt{2+x}$

Si solucionem esta equació, trobem que x = 2 (la segona solució $x=-1$ no s'aplica baix la convenció de que la raïl quadrada positiva és coneguda). Este acostament es pot també utilisar per a demostrar que generalment, si $n>0$, llavors:

$\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\cdots }}}}=\frac{1+\sqrt{1+4n}}{2}$

El mateix procediment també funciona per a conseguir:

$\sqrt{n-\sqrt{n-\sqrt{n-\sqrt{n-\cdots }}}}=\frac{-1+\sqrt{1+4n}}{2}$

Este método donarà un valor racional de x per a tots els valors de n tals que:

$n=x^2+x$

Per a igualtats d'número entero a una jerarquización radical per mig d'atres formes, el matemàtic indi Ramanujan va obtindre una fòrmula alternativa per al número 3. Va partir de la descomposició

$(n+p{)}^2=1+[n+(p-1)][n+(p+1)]$

i extraent la raïl quadrada d'abdós costats de l'equació, multiplicant per $n$ i fixant $p=2$ va obtindre:

$n(n+2)=n\sqrt{1+(n+1)(n+3)}$

Va substituir el terme $(n+3)$, basant-se en l'equació anterior:

$n(n+2)=n\sqrt{1+(n+1)\sqrt{1+(n+2)(n+4)}}$

Ramanujan va reiterar les substitucions en l'infinit i fent $n=1$ sense preocupar-se del pas en el llímit i va obtindre la següent expressió:

$3=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+\cdots }}}}}$

Fixant $n$ i $p$ per a atres valors positius elevats al quadrat obté més fòrmules com:

$4=\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+6\sqrt{1+\cdots }}}}}$

En resum, la relació es reitera a l'infinit:

$\begin{array}{ccc}(n+2)& =& \sqrt{1+(n+1)\sqrt{1+(n+2)(n+4)}}\\ & =& \sqrt{1+(n+1)\sqrt{1+(n+2)\sqrt{1+(n+3)(n+5)}}}\end{array}$

després permet expressar tots els número entero estrictament superiors a 1 com una repetició infinita de raïls quadrades. En particular, en n=0:

$2=\sqrt{1+\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+6\sqrt{1+7\sqrt{1+8\sqrt{1+9\sqrt{1+\cdots }}}}}}}}}}$

En raïls cúbiques

En certs casos, les raïls cúbiques infinitament jerarquizadas com, per eixemple:

$x=\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+\cdots }}}}$

poden presentar número racional també. L'equació anterior prové de l'expressió:

$x=\sqrt[3]{6+x}$

Si solucionem esta equació, trobem que $x=2$. En forma general, podem expressar l'anterior equació com lo següent:

$x=\sqrt[3]{n+x}$

i desenrollant l'equació en forma recursiva:

$x=\sqrt[3]{n+\sqrt[3]{n+\sqrt[3]{n+\sqrt[3]{n+\cdots }}}}$

la solució del qual és la raïl de l'equació:

$x^3-x-n=0$

per a tot número $n$ tal que $n>0$. Este procediment també és adequat per a calcular:

$\sqrt[3]{n-\sqrt[3]{n-\sqrt[3]{n-\sqrt[3]{n-\cdots }}}}$

la solució del qual és la raïl de l'equació cúbica:

$x^3+x-n=0$

per a tots els números $n$ i $x$ tals que $n>0$ i |x| ≥ 1.

Vore també

• Funció raïl
• Raïl quadrada
• Raïl cúbica