Método iterativo

Un método iterativo tracta de resoldre un problema matemàtic (com una equació o un sistema d'equacions) per mig d'aproximacions successives a la solució, escomençant des d'una estimació inicial. Esta aproximació contrasta en els métodos directes, que tracten de resoldre el problema d'una sola volta (com resoldre un sistema d'equacions Ax=b trobant l'inversa de la matriu A). Els métodos iterativos són útils per a resoldre problemes que involucren un número gran de variables (a voltes de l'orde de millons), a on els métodos directes tindrien un cost prohibitivo inclús en la potència del millor computador disponible.

Punts fixos atractius

Si una equació pot posar-se en la forma f(x) = x, i una solució x és un punt fix atractiu de la funció f, llavors pot escomençar en un punt x₁ en la base d'atracció de x, i siga x_n+1 = f(x_n) per a n ≥ 1, i la seqüència {x_n}_n ≥ 1 convergirà a la solució x.

Sistemes llineals

En el cas d'un sistema llineal d'equacions, les dos classes principals de métodos iterativos són els métodos iterativos estacionarios i els més generals métodos del subespacio de Krylov.

Métodos iterativos estacionaris

Els métodos iterativos estacionaris resolen un sistema llineal en un operador que s'aproxima a l'original, i basant-se en la mida d'error (el residu), des d'una equació de correcció para la que es repetix este procés. Mentres que estos métodos són senzills de derivar, implementar i analisar, la convergència normalment solament està garantisada per a una classe llimitada de matrius.

Métodos del subespacio de Krylov

Els métodos del subespacio de Krylov formen una [Base (àlgebra)|base]] ortogonal de la seqüència de potències de la matriu pel residu inicial (la seqüència de Krylov). Les aproximacions a la solució es formen minimisant el residu en el subespacio format. El método prototípico d'esta classe és el método de gradient conjugat. Atres métodos són el método del residu mínim generalisat i el método del gradient biconjugado.

Convergència

Ya que estos métodos formen una base, el método convergix en N iteraciones, a on N és el tamany del sistema. No obstant, en la presència d'errors de grosseig esta afirmació no se sosté; ademés, en la pràctica N pot ser molt gran, i el procés iterativo alcança una precisió suficient molt abans. L'anàlisis d'estos métodos és difícil, depenent de lo complicada que siga la funció del espectre de l'operador.

Precondicionantes

L'operador aproximativo que apareix en els métodos iterativos estacionaris pot incorporar-se també en els métodos del subespacio de Krylov, a on es passen de ser transformacions de l'operador original a un operador millor condicionat. La construcció de precondicionadores és un àrea d'investigació molt extensa i de gran alcanç científic.^{cita requerida}

Vore també

• Método de Newton
• Algoritme QMR
• Algoritme TFQMR