Bisecció

Llínees bisectoras: mediatriz (per m₁), mijana (per m₂) i bisectriz (per B). La mijana, ademés de bisecar el costat AB, biseca l'àrea del triàngul ABC en dos parts iguals

La llínea DE biseca la llínea AB en D, la llínea EF is un bisector perpendicular al segment AD en C, i la llínea EF és el bisector interior de l'àngul recte AED

En geometria, el terme bisecció fa referència a la divisió d'un element en dos parts iguals o congruents, generalment per mig d'una llínea recta, denominada bisector.

Els tipos de bisectores més freqüentment considerats són:

• La "mediatriz d'un segment" (la llínea perpendicular que passa pel punt mig d'un segment donat)
• La "bisectriz d'un àngul" (la llínea que passa a través del vèrtiç d'un àngul i que ho dividix en dos parts iguals)

En l'espai tridimensional, la bisecció generalment es realisa per mig d'un pla, també cridat "pla bisector" o "pla de bisecció".

Bisecció d'un segment

Archiu:Perpendicular Bisector.gif

Construcció de la mediatriz del segment AB

Un bisector d'un segment passa a través del punt mig del segment donat. Particularment important és el bisector perpendicular d'un segment, la mediatriz, que forma dos ànguls rectes en el segment donat. La mediatriz d'un segment té també la propietat de que cada u dels seus punts és equidistant dels punts extrems del segment. Per lo tant, els llímits dels polígons de Thiessen consistixen en segments de tals llínees o plans.

En la geometria clàssica, la bisecció és una construcció realisable per mig de regla i compàs, la possibilitat del qual depén de la capacitat de dibuixar circumferèncias de ràdios iguals i centres diferents. El segment es biseca dibuixant circumferències d'intersecció d'igual ràdio, els centres de la qual són respectivament els punts extrems del segment, i de tal manera que cada u passa per un punt extrem contrari. La llínea determinada pels punts d'intersecció de les dos circumferències és la mediatriz del segment, ya que creua el segment pel seu centre. De fet, esta construcció s'usa quan es construïx una llínea perpendicular a una llínea donada en un punt donat: dibuixant una circumferència arbitrària el centre de la qual és eixe punt, interseca la llínea en dos punts més, i la perpendicular a construir és la que biseca el segment definit per estos dos punts.

Teorema de Brahmagupta establix que si un quadrilàter cíclico és ortodiagonal (és dir, té perpendicularidad diagonal), llavors la perpendicular a un costat des del punt d'intersecció de les diagonals sempre dividix el costat opost.

Algebraicamente, la mediatriz d'un segment recte en els punts extrems $P_1(x_1,y_1)$ i $P_2(x_2,y_2)$, ve donada per l'equació

$(x-x_1{)}^2+(y-y_1{)}^2=(x-x_2{)}^2+(y-y_2{)}^2,$

que establix que la distància al quadrat dels punts de la mediatriz a un punt extrem, és igual a la distància al quadrat des d'eixe punt fins a l'atre punt extrem del segment.

Bisecció d'un àngul

Archiu:Bisection construction.gif

Construcció de la bisectriz d'un àngul utilisant regla i compàs

Una bisectriz àngul dividix l'àngul en dos ànguls en mides equal. Un àngul solament té una bisectriz. Cada punt d'una bisectriz d'àngul és equidistant dels costats de l'àngul.

La bisectriz, bisector intern o bisector interior d'un àngul és la llínea, recta, o segment de llínea que dividix un àngul de menys de 180° en dos ànguls iguals. La bisectriz exterior o bisector extern és la llínea que dividix l'àngul (a partir d'un àngul original de menys de 180°), format per un costat de l'àngul original i l'extensió de l'atre costat, en dos ànguls iguals.

Per a dividir un àngul en regla i compàs, es dibuixa una circumferència el centre de la qual és el vèrtiç, que es talla en l'àngul en dos punts: un en cada u dels seus costats. Usant cada u d'estos punts com a centre, es dibuixen atres dos circumferències del mateix tamany. L'intersecció dels círculs (dos punts) determina una llínea que és la bisectriz de l'àngul.

La prova de la correcció d'esta construcció és prou intuïtiva, confiant en la simetria del problema. És interessant observar que la trisecció de l'àngul (dividint-ho en tres parts iguals) no es pot conseguir solament en regla i compàs (fet provat per primera volta per Pierre Wantzel).

Les bisectrices internes i externes d'un àngul són perpendiculars entre sí. Si l'àngul està format per les dos llínees donades algebraicamente com $l_{1}x+m_{1}y+n_1=0$ i $l_{2}x+m_{2}y+n_2=0,$, les bisectrices internes i externes vénen donades per les dos equacions

$\frac{l_{1}x+m_{1}y+n_1}{\sqrt{l_1^2+m_1^2}}=\pm \frac{l_{2}x+m_{2}y+n_2}{\sqrt{l_2^2+m_2^2}}.$

Triàngul

Archiu:Incircle.svg

Incentro d'un triàngul

Concurrència i colinealidades

Les bisectrices dels ànguls interiors d'un triàngul són concurrente en un punt cridat incentro del triàngul, com es veu en el diagrama de la dreta.

Les bisectrices de dos ànguls interiors i la bisectriz de l'atre àngul interior són concurrents.

Els tres punts d'intersecció, cada u d'una bisectriz d'un àngul extern en l'extensió del costat opost, són colineales (estan en la mateixa llínea que els atres).

Els tres punts d'intersecció, dos d'ells entre una bisectriz d'un àngul interior i el costat opost, i el tercer entre l'atra bisectriz d'un àngul exterior i el costat opost estés, són colineales.

Teorema de la bisectriz

Artícul principal → Teorema de la bisectriz.

Archiu:Triangle caps block 11 with bisector caps block 12 .svg

En este diagrama, BD:DC = AB:AC.

La teorema de la bisectriz es referix a les llongituts relatives dels dos segments en els que el costat d'un triàngul queda dividit per la bisectriz l'àngul opost. Iguala les seues llongituts relatives a les llongituts relatives dels atres dos costats del triàngul.

Llongitut

Si les llongituts dels costats d'un triàngul són $a,b,c$, el semiperímetro $s=(a+b+c)/2,$ i A és el costat opost de l'àngul $a$, llavors la llongitut de la bisectriz interna de l'àngul A és

$\frac{2\sqrt{bcs(s-a)}}{b+c},$

o en térmens trigonométricos,

$\frac{2bc}{b+c}\cos \frac{A}{2}.$

Si la bisectriz interna de l'àngul A en el triàngul ABC té una llongitut $t_a$ i si esta bisectriz dividix el costat opost A en segments de llongituts m i n, llavors

$t_a^2+mn=bc$

a on b i c són les llongituts laterals opostes als vèrtiços B i C; i el costat opost a A es dividix en la proporció b: c.

Si les bisectrices internes dels ànguls A, B i C tenen llongituts $t_a,t_b,$ i $t_c$, llavors

$\frac{(b+c{)}^2}{bc}{t}_a^2+\frac{(c+a{)}^2}{ca}{t}_b^2+\frac{(a+b{)}^2}{ab}{t}_c^2=(a+b+c{)}^2.$

No hi ha dos triànguls no congruents que compartixquen el mateix conjunt de les tres llongituts de bisectriz dels ànguls interns.

Triànguls sancers

Existixen triànguls sancers en bisectrices de coeficients racionals.

Quadrilàter

Les bisectrices internes d'un quadrilàter convexo formen un quadrilàter cíclico (és dir, els quatre punts d'intersecció de les bisectrices d'ànguls adjacents són concíclicos), o són concurrente. En este últim cas, el quadrilàter és un quadrilàter circumscrit.

Rombo

Cada diagonal d'un rombo biseca els seus ànguls oposts.

Quadrilàter extratangencial

El excentro d'un quadrilàter extratangencial es troba en l'intersecció de sis bisectrices: les bisectrices internes dels ànguls de dos vèrtiços oposts, les bisectrices dels ànguls externs (bisectrices angulars suplementàries) en els ànguls dels atres dos vèrtiços i les bisectrices angulars externes en els ànguls formats a on es creuen les extensions dels costats oposts.

Paràbola

Artícul principal → Paràbola (matemàtica).

La tangente a qualsevol punt d'una paràbola, biseca l'àngul format entre la llínea que unix dit punt al foc de la paràbola, i la llínea perpendicular a la directriu des del punt citat.

Bibliografia

• Plantilla:PlanetMath attribution