Triàngul equilátero

Triàngul equilátero

Archiu:Regular polygon 3 annotated.svg

Un triàngul equilátero i els seus ànguls principals

En geometria, un triàngul equilátero és un polígon regular, és dir, té els seus tres costats iguals. En la geometria euclídea tradicional, els triànguls equiláteros també són equiangulares, és dir, els tres ànguls interns són iguals.

Propietats

Archiu:SimetriasDelTriánguloEquilátero.svg

El triàngul equilátero té 3 eixos de simetria, cada u passa per un vèrtiç i el punt mig del costat opost. Per simetria del triàngul equilátero, es té que:

• Cada altura, mijana, bisectriz, mediatriz i eix de simetria d'un triàngul equilátero coincidixen sobre una mateixa recta. Per tant l'ortocentre, el baricentre, l'incentro i el circumcentre coincidixen en un mateix punt central.
• Considerant el baricentre, com a centre de rotació, les rotacions de 0°, 120° i 240° duen la figura sobre sí mateixa, les reflexions sobre cada una de les mijanes duen la figura sobre sí mateixa. Després es pot establir un grup de moviments del triàngul equilátero d'orde 6. Ademés les tres rotacions formen un subgrup cíclico.
• Dos triànguls equiláteros qualssevol són semejantemente congruents

.

• Els ànguls exteriors d'un triàngul equilátero són de 120°

Formulari

Fòrmules relatives al valor del costat $a$ d'un triàngul equilátero:

• El seu perímetro és: $p=3\cdot a$

Plantilla:Demostració l'apotema és $a_p=a\cdot \frac{\sqrt{3}}{6}$.

El radi de la circumferència exinscrita és $R_e=a\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$.

• La relació entre els tres radis citats anteriorment és $R=2\cdot r=\frac{2}{3}\cdot R_e$. Ademés,

$\frac{3}{a}=\frac{\sqrt{25Rr-2r^2}}{4Rr}$

El semiperímetro és $s=2R+(3\sqrt{3}-4)r\text{(Blundon)}$

• l'àrea és: $A=a^2\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}$
  • l'àrea en funció de l'altura $h$ del triàngul és: $A=h^2\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$
  • l'àrea en funció del radi $R$ de la circumferència circumscrita és: $A=R^2\cdot \frac{3\sqrt{3}}{4}$
  • l'àrea en funció del radi $r$ de la circumferència inscrita és:$A=r^2\cdot 3\sqrt{3}$
  • l'àrea en funció del radi $R_e$ de la circumferència exinscrita és:$A=R_e^2\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$

Construccions

Segons símbol de Schläfli es poden obtindre les següents construccions:

• {3/1} és el triàngul equilátero.

• {3,6} és el teselado del pla.

• {3,5} és l'icosaedre.

• {3,4} és l'octaedre.

• {3,3} és el tetraedre.

Utilisació prehistòrica

Archiu:Lepenski Vir (2). caps block 9

Jaciment de Lepenski Vir

• Es varen utilisar triànguls equiláteros com a base de les construccions descobertes en el jaciment prehistòric de Lepenski Vir, en Sèrbia.