Teorema de Ptolomeo

La teorema de Ptolomeo és una relació en geometria euclidiana entre els quatre costats i les dos diagonals d'un quadrilàter cíclico. La teorema rep el seu nom del astrònom i matemàtic grec Claudio Ptolomeo.

Un quadrilàter complix en la Teorema de Ptolomeo si i solament si és cíclico.

Si un quadrilàter està donat pels seus quatre vèrtiços A, B, C, D, la teorema afirma que:

$\overline{AC}\cdot \overline{BD}=\overline{AB}\cdot \overline{CD}+\overline{BC}\cdot \overline{AD}$

Esta relació pot ser expressada de manera verbal de la següent forma:

En tot quadrilàter cíclico, la suma dels productes dels parells de costats oposts és igual al producte de les seues diagonals. Claudio Ptolomeo

Demostracions

Demostració geomètrica

Demostració de la teorema de Ptolomeo

1. Siga ABCD un quadrilàter cíclico.
2. Note que en el segment BC, ànguls inscrits ∠BAC = ∠BDC, i en AB, ∠ADB = ∠ACB.
3. Ara, per ànguls comuns △ABK és semblant a △DBC, i △ABD ∼ △KBC
4. Per lo tant AK/AB = CD/BD, i CK/BC = DA/BD,
   1. Per lo tant AK·BD = AB·CD, i CK·BD = BC·DA;
   2. Lo que implica AK·BD + CK·BD = AB·CD +BC·DA
   3. És dir, (AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA;
   4. Pero AK+CK = AC, per lo tant AC·BD = AB·CD + BC·DA; com es volia demostrar.

Note que la demostració és vàlida solament per a quadrilàters concíclicos simples. Si el quadrilàter és complex llavors K es trobarà fòra del segment AC, i per lo tant AK-CK=±AC, tal com s'esperava.

Existix una generalisació d'esta teorema cridada el teorema de Casey, que involucra a quatre circumferències no secantes i tangentes interiors a una quinta.

La teorema de Ptolomeo es pot demostrar en métodos d'inversió geomètrica sobre qualsevol vèrtiç d'un quadrilàter.

Eixemple

La raó dorada s'obté de l'aplicació de la teorema de Ptolomeo

Considere's un pentàgon regular i la circumferència circumscrita al mateix. En el quadrilàter ABCD les diagonals són iguals al costat AD. La teorema de Ptolomeo tira en este cas,

$b^2=ab+a^2.$

Dividint entre $a^2$ es té

$\frac{b^2}{a^2}=1+\frac{b}{a}.$

Denotant en $\phi$ la raó b/a s'obté ${\phi }^2=1+\phi$, equació que coincidix en la definició del número áureo.

$\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.