Icosaedre

En geometria, un icosaedre és un poliedre en 20 cares. El nom prové del grec antic εἴκοσι (eíkosi) "vint", i ἕδρα (hédra), "assents". Existixen infinites formes d'icosaedres que no són semblants, algunes més simètriques que unes atres. La més coneguda és el icosaedre regular, un poliedre convexo no estelado que les seues cares són 20 triànguls equiláteros, i que forma part dels sòlits platònics.

Icosaedre

Erro al crear miniatura:

Icosaedre regular del monument al filòsof Spinoza en Ámsterdam

Icosaedres regulars

Artícul principal → Icosaedre regular.

Hi ha dos objectes, un convex i un atre no convexo, que poden denominar-se icosaedres regulars, caracterisats per contar en 30 arestes i en 20 cares triangulars. El terme icosaedre regular generalment es referix a un poliedre convexo, un deltaedro pertanyent als sòlits platònics, també conegut com "icosaedre" de forma genèrica. Una versió del poliedre no convexa és el gran icosaedre, un sòlit de Kepler-Poinsot. Abdós figures tenen simetria icosaédrica. Segons Coxeter et al. en The fifty nine icosahedra, existixen 59 estelaciones d'un icosaedre regular (inclós l'icosaedre original). Ser una estelació significa que un poliedre estén les seues cares o arestes fins que s'unixen per a formar un nou poliedre. Açò es realisa simétricamente, de modo que la figura resultant conserva la simetria general de la figura original. L'icosaedre regular i el gran icosaedre es troben entre ells. Atres estelaciones tenen més d'una cara en cada pla o formen composts de poliedres més simples. Estos no són estrictament icosaedres, encara que a sovint se'ls denomina aixina. Plantilla:Icosahedron stellations

Icosaedres piritoédricos

Erro al crear miniatura:

Construcció des dels vèrtiços d'un octaedre truncat, mostrant els rectànguls interns

Progressions entre un octaedre, un icosaedre i un cuboctaedro. El cuboctaedro pot flexionarse d'esta manera inclús si les seues arestes (pero no les seues cares) són rígides

Un icosaedre regular pot ser distorsionat fins a adquirir una simetria piritoédrica inferior, i es diu octaedre romo, tetratetraedro romo, tetraedre romo i pseudoicosaedro. Açò pot vore's com un octaedre truncat alternat. Si tots els triànguls són equiláteros, la simetria també pot distinguir-se coloreando els conjunts de 8 i 12 triànguls de manera diferent. Simetria tetraèdrica té el símbol (32), [3⁺,4], en orde 24. La simetria tetraèdrica té el símbol (332), [3,3]⁺, en orde 12. Estes simetria inferiors permeten distorsió geomètriques de 20 cares triangulars equiláteras, tenint en el seu lloc 8 triànguls equiláteros i 12 triànguls isósceles congruents. Estes simetria tenen diagrames de Coxeter-Dynkin Plantilla:DCD i Plantilla:DCD respectivament, cada una representant la simetria inferior al icosaedre regular, Plantilla:DCD, (532), [5,3] i la simetria icosaédrica d'orde 120. Les coordenades cartesianas dels 12 vèrtiços es poden definir per mig dels vectores definits per totes les permutació cíclicas possibles i els canvis de signe de les coordenades de la forma (2, 1, 0). Estes coordenades representen el octaedre truncat en els vèrtiços alternats eliminats. Esta construcció es denomina tetraedre truncat en la seua forma d'icosaedre regular, generat per les mateixes operacions realisades a partir del vector (f, 1, 0), a on f és el número àureu.

Un icosaedre regular és topológicamente idèntic a un cuboctaedro en els seus 6 cares quadrades bisecades en diagonals en simetria piritoédrica. Els icosaedres en simetria piritoédrica constituïxen una família infinita de poliedres que inclou el cuboctaedro, l'icosaedre regular, l'icosaedre de Jessen i l'octaedre de doble cubrimiento. Les transformacions cinemàtiques cíclicas es troben entre els membres d'esta família.

Atres icosaedres

A continuació es mostren atres icosaedres convexos i no convexos, junt en les seues descripcions:

• Erro al crear miniatura:
  Hebesfenorrotonda triangular: l'últim sòlit de Johnson en 13 triànguls equiláteros, 3 quadrats, 3 pentàgons i 1 hexàgon.

Vore també

• Icosaedre truncat
• Hexacosicoron
• Icosoku
• Bessons icosaédricos, nanopartículas que a sovint s'aproximen icosaedres perfectes

Enllaços externs

• Commons
• Wikimedia Commons alberga contingut multimèdia sobre Icosaedre.