The fifty nine icosahedra
The Fifty-Nine Icosahedra (Els Cincuenta y nueve Icosaedres) és un llibre escrit i ilustrat per H. S. M. Coxeter, P. Du Val, H. T. Flather i J. F. Petrie. Enumera certes estelaciones del icosaedre regular convexo o platònic, d'acort en un conjunt de regles propostes per J. C. P. Miller.
Publicat per primera volta per l'Universitat de Toronto en 1938, Springer-Verlag va reeditar el llibre en 1982. La tercera edició de Tarquin de 1999 va incloure nou material de referència i fotografies de K. i D. Crennell.
Contribucions dels autors
[editar | editar còdic]Regles de Miller
[editar | editar còdic]Encara que Miller no va contribuir directament al llibre, va anar un colega propenc de Coxeter i Petrie. La seua aportació està immortalisada en el seu conjunt de regles per a definir qué formes de estelación deuen considerar-se "adequadament significatives i distintes":[1]
- (i) Les cares deuen estar en vint plans, a saber, els plans delimitadors de l'icosaedre regular.
- (ii) Totes les parts que componen les cares deuen ser iguals en cada pla, encara que poden estar desconectades entre sí.
- (iii) Les parts incloses en qualsevol pla deuen tindre simetria trigonal, en o sense reflexió. Açò assegura la simetria icosaédrica per a tot el sòlit.
- (iv) Les parts incloses en qualsevol pla deuen ser totes "accessibles" en el sòlit complet (és dir, deuen estar en el "exterior". En certs casos deuríem requerir models d'enorme tamany per a poder vore tot l'exterior. En un model de tamany ordinari, algunes parts de el "exterior" solament podrien ser explorades per un diminut insecte).
- (v) Excloem de la consideració els casos en que les parts es poden dividir en dos conjunts, cada u dels quals dona un sòlit en tanta simetria com la figura completa. Pero permetem la combinació d'un parell enantiomorfo que no té una part comuna (lo que en realitat ocorre en un sol cas).
Les regles (i) a (iii) són requisits de simetria per als plans frontals. La regla (iv) exclou els forats enterrats, per a garantisar que no hi haja dos estelaciones aparentment idèntiques. La regla (v) evita qualsevol compost desconectat de estelaciones més simples.
Coxeter
[editar | editar còdic]Coxeter va ser la principal força impulsora darrere del treball. Va portar a terme l'anàlisis original basat en les regles de Miller, adoptant una série de tècniques com la combinatòria i la teoria de grafos abstracta, l'us de la qual en un context geomètric era llavors nou.
Va observar que el diagrama de la estelación constava de molts segments de llínea. Després va desenrollar procediments per a manipular combinacions de les regions planes adjacents, en la finalitat d'enumerar formalment les combinacions permeses per les regles de Miller.
El seu gràfic, reproduït ací, mostra la conectivitat de les diverses cares identificades en el diagrama de la estelación (vore més avall). Els símbols grecs representen conjunts de possibles alternatives:
- λ pot ser 3 o 4
- μ pot ser 7 o 8
- ν pot ser 11 o 12
Du Val
[editar | editar còdic]Du Val va idear una notació simbòlica per a identificar conjunts de celes congruents, basant-se en l'observació de que es troben formant clafolls al voltant de l'icosaedre original. Basant-se en açò, va provar totes les combinacions possibles sobre les regles de Miller, confirmant el resultat de l'enfocament més analític de Coxeter.
Flather
[editar | editar còdic]La contribució de Flather va ser indirecta, realisant models en cartulina dels 59 casos. Quan va conéixer a Coxeter, ya havia confeccionat numeroses estelaciones, inclosos alguns eixemples que no complien les regles de Miller. Després va passar a completar la série d'cincuenta y nueve models, que es conserven en la biblioteca de matemàtiques de l'Universitat de Cambridge, Anglaterra. La biblioteca també té alguns models que no complixen les regles de Miller, pero no se sap si varen ser realisats per Flather o pels estudiants posteriors de Miller.[2]
Petrie
[editar | editar còdic]John Flinders Petrie va ser amic de tota la vida de Coxeter i tenia una notable habilitat per a visualisar la geometria en quatre dimensions. Junt en Coxeter, havia treballat en molts problemes matemàtics. La seua contribució directa als cincuenta y nueve icosaedres va ser l'exquisit conjunt de dibuixos tridimensionals que proporcionen gran part del fascinant aspecte de l'obra publicada.
Els Crennell
[editar | editar còdic]Per a la Tercera Edició, Kate i David Crennell varen reajustar el text i redibujaron els diagrames. També varen agregar una secció de referència que contenia taules, diagrames i fotografies d'alguns dels models de Cambridge (que en eixe moment es pensava que eren tots de Flather). Les correccions a esta edició s'han publicat en llínea.[3]
Llista dels cincuenta y nueve icosaedres
[editar | editar còdic]
Abans de Coxeter, solament Brückner i Wheeler havien registrat conjunts significatius de estelaciones, encara que algunes, com el gran icosaedre, es coneixien des de feya més temps. Des de l'edició de The 59, Wenninger va publicar instruccions sobre cóm realisar models d'algunes estelaciones. L'esquema de numeració utilisat en el seu llibre s'ha tornat àmpliament referenciado, encara que solament va registrar algunes d'estes estelaciones.
Notes sobre la llista
[editar | editar còdic]Els números d'índex són els de Crennell a menos que s'indique lo contrari:
Crennell En la numeració de l'índex agregada a la Tercera Edició pels Crennell, les primeres 32 formes (índexs 1-32) són models reflectits, i les últimes 27 (índexs 33–59) són quirales i solament s'enumeren les formes dextrógiras. Est és l'orde en que es representen les estelaciones en el llibre.
Celes En la notació de Du Val, cada capa s'identifica en negreta, treballant cap a fòra, com a, b, c, ..., h, sent a l'icosaedre original. Algunes capes es subdividen en dos tipos de celes, per eixemple i comprén i1 i i2. El conjunt f1 es subdivide en formes a dreta i esquerra, respectivament f1 (lletra normal) i f1 (lletra cursiva). Quan una estelación té totes les celes presents dins d'una capa exterior, la capa exterior s'escriu en mayúscula i l'interior s'omet, per eixemple a + b + c + i1 s'escriu com a Ce1.
Cares Totes les estelaciones es poden especificar per mig d'un diagrama de estelación. En el diagrama que es mostra ací, els colors numerats indiquen les regions del diagrama de estelación que deuen aparéixer juntes com un conjunt, si es vol mantindre la simetria icosaédrica completa. El diagrama té 13 conjunts d'este tipo. Alguns d'estos es subdividen en parells quirales (no mostrats), lo que permet estelaciones en simetria rotacional pero no reflexiva. En la taula, les cares que es veuen des d'avall s'indiquen en un apóstrofe, per eixemple 3'.
Wenninger
Els números d'índex i els noms numerats varen ser assignats arbitrariamente per l'editor de Wenninger d'acort en la seua aparició en el seu llibre "Models de poliedres" i no guarden relació en cap seqüència matemàtica. Solament alguns dels seus models eren d'icosaedres. Els seus noms es donen en forma abreviada, deixant "... de l'icosaedre".
Wheeler
- Wheeler va trobar les seues figures, o formes de l'icosaedre, seleccionant segments de llínea del diagrama de la estelación. Va distinguir cuidadosadament açò del procés clàssic d'estelación ideat per Johannes Kepler. Coxeter et al. va ignorar esta distinció i es va referir a tots ells com estelaciones.
Brückner
- Max Brückner va fer i va fotografiar models de molts poliedres, dels quals solament uns pocs eren icosaedres. Taf. és una abreviatura de Tafel, paraula que en alemà dona nom a una image impresa per mig de fototípia.
Observacions La figura No. 8 a voltes es diu el equidnaedro per la seua relativa similitut en un equidna. Este us és independent de la descripció que fa Johannes Kepler d'un poliedre regular estrelat al que va denominar equidnae.
Taula dels cincuenta y nueve icosaedres
[editar | editar còdic]Algunes imàgens ilustren l'icosaedre d'image especular en la cela f1 en lloc d'en la cela f1.
Vore també
[editar | editar còdic]- Models de poliedres de Wenninger. El llibre de Wenninger Polyhedron models inclou 21 d'estes estelaciones.
- Sòlits en simetria icosaédrica
Referències
[editar | editar còdic]Bibliografia
[editar | editar còdic]- Brückner, Max (1900). Vielecke und Vielflache: Theorie und Geschichte. Leipzig: B. G. Treubner. ISBN 978-1-4181-6590-1. Plantilla:In lang
- WorldCat Inglés: Polígons i poliedres: teoria i història. Fotografies de models: Tafel VIII (Plate VIII), etc. Alta resolució. escaneja.
- Harold Scott MacDonald Coxeter, Patrick du Val, H.T. Flather, JF Petrie (1938) The Fifty-nine Icosahedra, estudis Universitat de Toronto, série matemàtica 6: 1–26.
- Tercera edició (1999) Tarquin ISBN 978-1-899618-32-3 MR676126
- Wenninger, Magnus J. (1983) Models de poliedres; Cambridge University Press, edició en rústica (2003). ISBN 978-0-521-09859-5.
- A. H. Wheeler (1924) "Certes formes de l'icosaedre i un método per a derivar i designar poliedres superiors", Proceedings of the Congrés Internacional de Matemàtics, Toronto, vol. 1, págs. 701–708.
Referències
[editar | editar còdic]
- Este artícul conté una traducció derivada de «The fifty nine icosahedra» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.