Estelación

Construcció d'un dodecágono estelado: un polígon regular en el símbol de Schläfli {12/5}.

En geometria, la estelación és el procés de formar una nova figura a partir d'estendre un polígon en dos dimensions, un poliedre en tres dimensions o, en general, un politopo en n dimensions. A partir de la figura original, el procés prolonga o estén elements específics com les seues arestes o plans frontals, per lo general de forma simètrica, fins que es troben de nou per a formar el llímit tancat d'una nova figura. La nova figura és una estelación de l'original. La paraula «estelación» prové del llatí stellāels teus, 'estelado', que a la seua volta prové del llatí stella, lit. 'estrela'.

Definició de Kepler

En 1619, Kepler va definir la estelación per a polígons i poliedres com el procés d'estendre les arestes o cares fins que s'uniren per a formar un nou polígon o poliedre.

Kepler esteló el dodecaedre regular per a obtindre dos poliedres estrelats regulars, el menut dodecaedre estrelat i el gran dodecaedre estrelat. També esteló l'octaedre regular per a obtindre la stella octangula, un compost regular de dos tetraedres.

Estelación de polígons

La estelación d'un polígon regular crea simétricamente un polígon estrelat regular o un compost poligonal. Estos polígons es caracterisen pel número de voltes m que el llímit poligonal es enrolla al voltant del centre de la figura. Com tots els polígons regulars, els seus vèrtiços es troben en un círcul. m també correspon al número de vèrtiços al voltant del círcul per a anar d'un extrem d'una vora donada a l'atre, començant en 1.

Un polígon estrelat regular està representat pel seu símbol de Schläfli {n/m}, a on n és el número de vèrtiços, m és el pas utilisat per a secuenciar les arestes a la seua entorn, sent m i n coprimos (és dir, no tenen un divisor comú). Fent m = 1 dona el convexo {n}. m també deu ser menor que la mitat de n; de lo contrari, les llínees seran paraleles o divergents, lo que evitarà que la figura es tancara mai.

Si n i m tenen un divisor comú, llavors la figura és un compost regular. Per eixemple, {6/2} és el compost regular de dos triànguls {3} o hexagrama, mentres que {10/4} és un compost de dos pentagrames {5/2}.

Alguns autors usen el símbol de Schläfli per a tals composts regulars. Uns atres consideren que el símbol indica una ruta única que es enrolla m voltes al voltant de n/m punts de vèrtiç, de manera que una aresta se superpon a una atra i cada punt de vèrtiç es visita m voltes. En este cas, es pot usar un símbol modificat per al compost, per eixemple 2{3} per al hexagrama i 2{5/2} per al compost regular de dos pentagrames.

Un n-gono regular té (n − 4)/2 estelaciones si n és parell (assumint que els composts de digonos degenerados múltiples no es consideren), i (n − 3)/2 estelaciones si n és impar.

El pentagrama, {5/2}, és l'única estelación d'un pentàgon	El hexagrama, {6/2}, la estelación d'un hexàgon i un compost de dos triànguls.	l'eneágono (nonágono) {9} té 3 formes eneagramáticas, {9/2}, {9/3}, {9/4}, sent {9/3} un compost de 3 triànguls.
El heptàgon té dos formes heptagrámicas: {7/2}, {7/3}

De la mateixa manera que el heptàgon, l'octògon també té dos estelacion octagramicas, una, {8/3} que és un polígon estrelat, i l'atra, {8/2}, que està composta de dos quadrats.

Vore també

• The fifty nine icosahedra
• List of Wenninger polyhedron models, inclou 44 formes estrelades d'octaedre, dodecaedre, icosaedre i icosidodecaedro, enumerades en el llibre de 1974 Polyhedron Models de Magnus Wenninger
• Polyhedral compound, inclou 5 composts regulars i 4 composts dobles regulars.
• List of polyhedral stellations

Referències

L'artícul de la Wikipedia en anglés arreplega la següents referències:

• Bridge, N. J.; Facetting the dodecahedron, Acta Crystallographica A30 (1974), pp. 548–552.* Coxeter, H.S.M.; Regular complex polytopes (1974).
• Coxeter, H.S.M.; Du Val, P.; Flather, H. T.; and Petrie, J. F. The Fifty-Nine Icosahedra, 3rd Edition. Stradbroke, England: Tarquin Publications (1999).
• Inchbald, G.; In search of the lost icosahedra, The Mathematical Gazette 86 (2002), pp. 208-215.
• Messer, P.; Stellations of the rhombic triacontahedron and beyond, Symmetry: culture and science, 11 (2000), pp. 201–230.
• Wenninger, Magnus (1974). Polyhedron Models, Cambridge University Press. ISBN 0-521-09859-9.
• Wenninger, Magnus (1983). Dual Models, Cambridge University Press. ISBN 0-521-24524-9.