Teorema de Kolmogórov-Arnold-Moser

La teorema de Kolmogórov–Arnold–Moser o teorema KAM és un resultat de sistemes dinàmics sobre la persistència de moviments cuasiperiódicos. Esta teorema resol parcialment el problema dels divisores menuts (que origina problemes de convergència en sistemes en múltiples freqüències). La teorema explica cóm es modifica l'aspecte de les trayectòries d'un sistema integrable baix menuts destorbament.

Introducció

El moviment en un sistema integrable està confinat a una [hiper]superfície toroidal. Diferents condicions inicials del sistema originen diferents bous en l'espai fásico. Que les trayectòries d'un sistema integrable de dimensió n estan confinades a hipersuperficies de tipo ${𝕋}^n$ poden deduir-se del tractament de les variables acció-àngul, en existir n variables "àngul" periòdiques.

La teorema KAM establix que, si un sistema està somés a un chicotet destorbament no llineal, alguns bous seran deformats i atres destruïts. Els que sobreviuen són aquells que tenen un cocient de freqüències suficientment irracional. És dir, es destruïxen aquells el cocient dels quals de freqüències s'acosta més a un número racional, donats per la relació

En $k(ϵ\to 0)\to 0$. L'últim bou en destruir-se és el més irracional de tots (el que guarda major semblança en el número áureo). Informalmente la teorema establix que:

"Per a destorbament suficientment menuts, casi tots els bous invariantes es preserven [en el sistema pertorbat] (excloent aquells en vectores de freqüència racionals)"

Vore també

• Equació d'Hamilton-Jacobi
• Mecànica analítica

Bibliografia

• Abraham, R., Marsden, J. E., & Marsden, J. E. (1978). Foundations of mechanics, Massachusetts: Benjamin/Cummings Publishing Company.
• Rafael de la Clau (2001) A tutorial on KAM theory.