Fòrmula dels número primo

En matemàtiques, una fòrmula dels número primo és aquella que genera els número primo, exactament i sense excepció alguna. Una atra gran qüestió és qué es considera com una «fòrmula» i lo que no. No existix cap fòrmula polinòmica per a obtindre tots els número primo. Tampoc existix alguna fòrmula polinòmica no constant que solament genere valors primers. La majoria de la gent pot objectar que el terme «fòrmula» es restringix solament als polinomis. ¿Podrien usar-se sumatorias, factorials i la funció chafe? Si aixina fora, de fet, sí existixen fòrmules per a obtindre número primo. Una interpretació raonable de la paraula «fòrmula» és «una màquina de Turing que es deté baix totes les entrades». Baixe esta interpretació certament existixen màquines de Turing que es detenen, capaces de computar l'enèsim número primo. Aixina i tot, ningú sap cóm calcular l'enèsim número primo en temps polinòmic. Dit d'una atra forma, no es coneix alguna fòrmula fàcilment computable.

Funcions polinòmiques

Se sap que no existix una funció polinòmica no constant $P (n)$ que evalue número primo per a tots els sancers n. La comprovació a açò és simple: Supongam que dit polinomi existix. Llavors $P (1)$ evaluaria al primer p, llavors $P (1) \equiv 0 (\mod p)$ . Per a qualsevol k, $P (1 + k p) \equiv 0 (\mod p)$ , aixina que $P (1 + k p)$ no pot ser primer (si ho anara, seria divisible per p) a menos que fora el mateix p. L'única forma en que $P (1 + k p) = P (1))$ per a tota k és si la funció polinòmica és constant.

Si apliquem més la teoria dels número algebraico, es pot mostrar un resultat encara major: no existix una funció polinòmica no constant P(n) que evalue a un número primo per a casi tots els sancers n.

El polinomi quadràtic

P (n) = n^{2} + n + 41

torna número primo per a tots els sancers no negatius menors que 40. Els número primo per a $n = 0, 1, 2, 3...$ són $41, 43, 47, 53...$ . Les diferències entre els térmens són $2, 4, 6, 8, 10...$ . Per a $n = 40$ , es produïx un número quadrat, $1681$ , el qual és igual a $41 \cdot 41$ , el menor número compuesto per a esta fòrmula. De fet si 41 dividix a n, també dividix a $P (n)$ . El fenomen es relaciona en l'espiral de Ulam, la qual també és implícitament quadràtica.

Basant-nos en el teorema de Dirichlet sobre les progressions aritmètiques se sap que funcions llineals $f (x) = a x + b$ produïxen infinits número primo sempre i quan a i b siguen cosins relatius (encara que tal funció no assumirà valors primers per a qualsevol x).

No es coneix si existix un polinomi invariable d'a lo manco grau major que 2 que genere un número infinit de valors que són primers.

Fòrmula basada en un sistema d'equacions diofánticas

Un conjunt d'equacions diofánticas en 26 variables pot ser usada per a obtindre número primo. Jones va demostrar que donat un número $k + 2$ este és primer si i solament si el següent sistema de 14 equacions diofánticas té una solució en els número natural:^[1]

0 = w z + h + j - q

0 = (g k + 2 g + k + 1) (h + j) + h - z

0 = 16 (k + 1)^{3} (k + 2) (n + 1)^{2} + 1 - f^{2}

0 = 2 n + p + q + z - e

0 = e^{3} (e + 2) (a + 1)^{2} + 1 - o^{2}

0 = (a^{2} - 1) y^{2} + 1 - x^{2}

0 = 16 r^{2} y^{4} (a^{2} - 1) + 1 - u^{2}

0 = n + l + v - y

0 = (a^{2} - 1) l^{2} + 1 - m^{2}

0 = a i + k + 1 - l - i

0 = ((a + u^{2} (u^{2} - a))^{2} - 1) (n + 4 d y)^{2} + 1 - (x + c u)^{2}

0 = p + l (a - n - 1) + b (2 a n + 2 a - n^{2} - 2 n - 2) - m

0 = q + y (a - p - 1) + s (2 a p + 2 a - p^{2} - 2 p - 2) - x

0 = z + p l (a - p) + t (2 a p - p^{2} - 1) - p m

Açò pot ser usat per a produir un polinomi que genere número primo. Denotem els costats drets de les equacions de dalt per $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{14}$ . Llavors:

(k + 2) (1 - {α_{1}}^{2} - {α_{2}}^{2} - \dots - {α_{14}}^{2})

és un polinomi de 26 variables, i el conjunt dels número primo és idèntic al conjunt dels valors positius presos per este polinomi en els valors $a, b, \dots, z$ del ranc sobre els sancers no negatius.

Una teorema general de Matiyasévich diu que si un conjunt es definix com un conjunt d'equacions diofánticas, també pot ser definit com un sistema d'equacions diofánticas en només 9 variables. Per lo tant, existix un polinomi que genera número primo com l'anterior de solament 10 variables. No obstant, el grau de dit polinomi és molt gran (de l'orde de $1 0^{45}$ ). Vist d'una atra manera, també podem transformar dit polinomi a grau 4, pero en 58 variables.

Vore també

Referències

↑ James P. Jones, Daihachiro Sato, Hideo Wada, Douglas Wiens: Diophantine representation of the set of prime numbers (1976), American Mathematical Monthly 83: 449–464

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Fórmula de los números primos» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[jones-1] James P. Jones, Daihachiro Sato, Hideo Wada, Douglas Wiens: Diophantine representation of the set of prime numbers (1976), American Mathematical Monthly 83: 449–464

[1]