j-invariante

j-invariante de Klein en el pla complex

En matemàtiques, j-invariante de Klein o funció j, considerada com una funció d'una variable complexa τ, és una forma modular de pes zero per a SL(2, Z) definida sobre el semiplano positiu de número complex. És l'única funció tal que és holomorfa llunt d'un pol simple de la cim tal que

$j\left(e^{\frac{2}{3}\pi i}\right)=0,j(i)=1728.$

Les funcions racionals de j són modular, i de fet proporcionen totes les funcions modular. Clásicament, el j-invariante es va estudiar com una parametrisació de curves elíptiques sobre C, pero també té sorprenents conexions en les simetria del grup mònstruo (esta conexió es referix al monstrous moonshine).

Referències

• Apostol, Tom M.(1976).«Modular functions and Dirichlet Séries in Number Theory».Springer-Verlag.New York:41. Provides a very readable introduction and various interesting identities.
  • Apostol, Tom M.(1990).«Modular functions and Dirichlet Séries in Number Theory».
• Berndt, Bruce C.; Chan, Heng Huat(1999).«Ramanujan and the modular j-invariant».Canadian Mathematical Bulletin.42(4): 427–440.doi:10.4153/CMB-1999-050-1.Consultat el 5 de febrer de 2016.. Provides a variety of interesting algebraic identities, including the inverse as a hypergeometric séries.
• Cox, David A.(1989).«Primes of the Form x^2 + ny^2: Fermat, Class Field Theory, and Complex Multiplication».Wiley-Interscience Publication, John Wiley & Sons Inc..New York: Introduïxes the j-invariant and discusses the related class field theory.
• Conway, John Horton; Norton, Simon(1979).«Monstrous moonshine».Bulletin of the London Mathematical Society.11(3): 308–339.doi:10.1112/blms/11.3.308.. Includes a list of the 175 genus-zero modular functions.
• Rankin, Robert A.(1977).«Modular forms and functions».Cambridge University Press.Cambridge:. Provides a short review in the context of modular forms.
• Schneider, Theodor(1937).«Arithmetische Untersuchungen elliptischer Integrale».Math. Annalen.113: 1–13.doi:10.1007/BF01571618..