Curva elíptica

En matemáticas, les curvas elípticas se definen mediante ecuaciones cúbicas (de tercer grado). Han sido utilizades per a probar l'último teorema de Fermat y en factorisació d'enteros. Se emplean también en criptografía de curvas elípticas. Estas curvas no són elipses. les curvas elípticas són «regulares», es decir, no tienen «vértices» ni autointerseccions, y se puede definir una operación binaria per al conjunto de sus puntos d'una manera geométrica natural, lo que hace de dicho conjunto un grupo abeliano. Algunas de les curvas elípticas sobre el cuerpo dels números reals vienen dadas per les ecuaciones $y^2=x^3-x$ y por $y^2=x^3-x+1$.

Representació gràfica en un sistema de coordenades cartesianas de curves elíptiques sobre ___*$ℝ$.

Generalitats

Definició general

Les curves elíptiques poden definir-se sobre qualsevol cos K; la definició formal d'una curva elíptica és la d'una curva algebraica proyectiva no singular sobre K de gènero 1. Si la característica K no és ni 2 ni 3, llavors tota curva elíptica sobre K pot escriure's en la forma:

$y^2=x^3-px-q$

donde p y q són elementos de K tals que el polinomio del miembro derecho $x^3-px-q$ no tinga cap raïl doble. Si la característica és 2 o 3 faran falta més térmens. Normalment es definix la curva com el conjunt de tots els punts (x,i) que satisfan l'equació anterior, i tals que x i i siguen elements de la pany algebraic de K. Els punts de la curva les coordenades de la qual pertanyguen abdós a K es diuen punts K-racionals.

Llei de grup

Si afegim un punt en el «infinit», obtenim la versió proyectiva de tal curva. Si tenim dos punts de la curva, P i Q llavors podem descriure de forma unívoca un tercer punt que siga l'intersecció de la curva en la llínea que conté els dos punts P i Q. Si la llínea és tangente a la curva en un punt, llavors eixe punt la tallarà dos voltes; i si la llínea és parala a l'eix i, definim el tercer punt com en l'infinit. Llavors una de tals condicions serà la que complixca qualsevol parell de punts d'una curva elíptica. Podem llavors introduir una operació de grup, «+», sobre la curva en les propietats següents: considerem el punt en l'infinit com el «0», açò és, l'identitat del grup; i si una llínea recta interseca la curva en els punts P, Q i R, llavors requerim que P+Q+R=0 en el grup. Es demostra que açò convertix a la curva en un grup abeliano, i per tant en una varietat abeliana. Es pot també demostrar que el conjunt dels punts K-racionals (incloent al punt en l'infinit) forma un subgrup d'este grup. Si la curva es denota per I, este subgrup es denota a sovint com I(K). El grup de dalt es pot descriure geomètrica i algebraicamente. Donada la curva i² = x³ - px - q sobre el cos K (que la seua característica assumim que no és ni 2 ni 3), i els punts P = (x_P, i_P) (subíndex P) i Q = (x_Q, i_Q) en la curva, assumim primer que x_P ≠ x_Q. Siga s = (i_P -

i_Q)/(x_P - x_Q); ya que K és un cos, s està ben definit. Llavors podem definir R = P + Q = (x_R, i_R) per mig de

$x_R=s^2-x_P-x_Q$

$y_R=-y_P+s(x_P-x_R)$

Si x_P = x_Q, entonces hay dos opciones: si y_P = -y_Q, entonces la suma se define como 0; así que el inverso de cada punto de la curva se encuentra reflejándolo en el eje x. Si y_P = y_Q ≠ 0, entonces R = P + P = 2P = (x_R, y_R) vendrá dado por

$s=(3{x_P}^2-p)/(2y_P)$

$x_R=s^2-2x_P$

$y_R=-y_P+s(x_P-x_R)$

Si i_P = i_Q = 0, llavors P + P = 0.

Teoria associada

el teorema de Mordell-Weil establix que si el cos subjacent ___*$K$ es el dels racionals (o más en general un cuerpo numérico), entonces el grupo de puntos K-racionals será finitamente generado. Mientras que se puede determinar fácilmente el subgrupo de torsión de $E(K)$, no se conoce un algoritmo general per a computar su rango. Una fórmula per a dicho rango viene dada por la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer. La prueba reciente del último teorema de Fermat se lleva a cabo probando un caso especial de la profunda conjetura de Taniyama-Shimura que relaciona les curvas elípticas sobre els racionals con les formas modulares; dicha conjetura ha sido también completamente demostrada. Si el cuerpo subyacente $K$ es el dels complejos, toda curva elíptica podrá ser parametrizada por cierta función elíptica y su derivada. Específicamente, a cada curva elíptica $E$ se le asocia un reticulado L y una función elíptica de Weierstrass correspondiente $\mathrm{\wp }$, tal que la aplicación

φ : C/L → E

con

$\phi (z)=𝐂(\mathrm{\wp }(z),{\mathrm{\wp }}^{\prime }(z))$

sea un isomorfisme de grupos y un isomorfisme de superficies de Riemann. Lo que prueba en particular que topológicamente, $E$ semeja un toro (ya que C/L es un toro). Si el reticulado L está relacionado con atre reticulado cL mediante la multiplicación por un número complex distinto de cero c, entonces les curvas correspondientes són isomorfas. les clases d'isomorfisme de curvas elípticas se especifican mediante el j-invariante. Mientras que el número de puntos racionals d'una curva elíptica E sobre un cuerpo finito F_p es difícil de computar en general, un teorema d'Hasse dice que

$|\mathrm{\#}E(𝔽)-p-1|<2\sqrt{p}$

Este fet pot entendre's i demostrar-se en una miqueta de teoria general; vore funció zeta local, cohomología étale. Per a desenrolls ulteriors vore aritmètica de varietats abelianas.

Aplicacions

Les curves elíptiques sobre cossos finitos s'usen en algunes aplicacions en criptografia aixina com en la factorisació de sancers. L'idea general en eixes aplicacions és que si tenim un algoritme que usa certs grups finitos podem reescriure-ho usant els grups de punts racionals de curves elíptiques.

Vore també

• Criptografia de curves elíptiques
• Curva elíptica DSA
• Factorisació de curva elíptica de Lenstra

Enllaços externs

Commons

• Wikimedia Commons alberga contingut multimèdia sobre Curva elíptica.
• Mathematical Atles: 14H52 Elliptic Curves
• ^{[enllaç trencat]}
• Curva elíptica interactiva sobre R i [1] - Aplicació web que requerix d'un navegador que implemente HTML5 (canvas).