Teorema de Mordell-Weil

La teorema de Mordell afirma que si $E:=y^2=f(x)$ és una curva elíptica racional no singular, açò és que $f$ i $df$ no tinguen raïls comunes, llavors el grup dels punts racionals $E(\mathbb{Q})$ és un grup abeliano finitamente generat.

És dir, este grup va a ser isomorfo al producte $r$ voltes de $\mathbb{Z}$ (a $r$ se li coneix pel ranc de la curva) multiplicats a la seua volta per una certa cantitat de grups finitos i.i. $E(\mathbb{Q})\cong \stackrel{rveces}{\overbrace{\mathbb{Z}\oplus \mathrm{...}\oplus \mathbb{Z}}}\oplus \frac{\mathbb{Z}}{p_1^{{\lambda }_1}\mathbb{Z}}\oplus \mathrm{...}\oplus \frac{\mathbb{Z}}{p_s^{{\lambda }_s}\mathbb{Z}}$

Si la curva és singular, llavors la teorema és falsa. El grup $E(\mathbb{Q})$ és isomorfo a $\mathbb{Q}$ com a grup aditiu o ${\mathbb{Q}}^{*}$ com a grup multiplicativo, que no són finitamente generats.