Cos ciclotòmic

En teoria de números, un cos ciclotòmic és un cos numèric que s'obté en adjuntar una raïl primitiva de l'unitat complexa a Q, el cos dels número racional. El n-ésimo cos ciclotòmic Q(ζ_n) (en n > 2) és obtingut per mig de la adjunción d'una n-ésima raïl primitiva de l'unitat ζ_n als número racional.

Els cossos ciclotòmics varen jugar un paper crucial en el desenroll de l'àlgebra moderna i en teoria de números, per la seua relació en l'última teorema de Fermat. Va ser en el procés d'àmplies investigacions sobre l'aritmètica d'eixos cossos (para número primo n)– i més precisament, el perqué del fallo de la factorización única en els seus respectius anells de sancers – que Ernst Kummer va introduir per primera volta el concepte d'un número ideal i va demostrar les seues famoses congruència de Kummer.

Propietats

Un cos ciclotòmic és el cos de descomposició del polinomi

xⁿ − 1

i més encara, és una extensió de Galois del cos dels número racional. El grau de l'extensió

[Q(ζ_n):Q]

ve dau per φ(n) a on φ és la funció φ de Euler. Un complet conjunt de conjugats de Galois ve dau per { (ζ_n)^a }, a on a pot prendre valors sobre el conjunt de residus inversos mòdul n (ya que a és cosí relatiu en n). El grup de Galois és naturalment isomorfo al grup multiplicativo

(Z/nZ)^×

de residus invertibles mòdul n, i est actua sobre les n-ésimas raïls primitives de l'unitat per mig de la fòrmula

b: (ζ_n)^a → (ζ_n)^ab.

Relació en polígons regulars

Artícul principal → Polígon construible.

Carl Friedrich Gauss va fer les primeres incursions en la teoria de cossos ciclotòmics, en conexió en el problema geomètric de la construcció d'un polígon regular de n costats en regla i compàs. El seu sorprenent resultat, que escapava a de els seus predecessors va ser que el heptadecágono regular (en 17 costats) pot ser construït. Més generalment, si p és un número primo, llavors un polígon regular en p costats pot ser construït si i solament si p és un número primo de Fermat. El problema geomètric per a un polígon general en n costats pot ser reduït a la següent qüestió en teoria de Galois: ¿pot el n-ésimo cos ciclotòmic ser construït com una seqüència d'extensions quadràtiques?

Vore també

• Teorema de Kronecker-Weber
• Raïl de l'unitat

Referències

• Bryan Birch, "Cyclotomic fields and Kummer extensions", in J.W.S. Cassels and A. Frohlich (edd), Algebraic number theory, Academic Press, 1973. Chap.III, pp.45-93.
• Daniel A. Marcus, Number Fields, third edition, Springer-Verlag, 1977
• Lawrence C. Washington, Introduction to Cyclotomic Fields, Graduate Texts in Mathematics, 83. Springer-Verlag, New York, 1982. ISBN 0-387-90622-3
• Serge Lang, Cyclotomic Fields I and II, Combined second edition. With an appendix by Karl Rubin. Graduate Texts in Mathematics, 121. Springer-Verlag, New York, 1990. ISBN 0-387-96671-4