Número ideal

En teoria de números, un número ideal és un sancer algebraic que representa un ideal en l'anell dels número entero d'un cos d'número algebraico. El concepte va ser desenrollat per Ernst Kummer i va conduir a la definició de Richard Dedekind dels ideals per a anells. Un ideal en l'anell dels sancers d'un cos de números algebraic és principal si consta de múltiples d'un sol element de l'anell. Segons el teorema de l'ideal principal, qualsevol ideal no principal es convertix en principal en estendre's a un ideal del cos de classes de Hilbert. Açò significa que existix un element de l'anell de sancers del cos de la classes de Hilbert, que és un número ideal, tal que l'ideal no principal original és igual al conjunt de tots els múltiples d'este número ideal per elements d'este anell de sancers que pertanyen a l'anell de sancers del cos original.

Eixemple

Per eixemple, siga $y$ una raïl de $y^2+y+6=0$. Llavors, l'anell de sancers del cos $\mathbb{Q}(y)$ és $\mathbb{Z}[y]$, lo que significa que tots els $a+b\cdot y$ en $a$ i $b$ sancers formen l'anell de sancers. Un eixemple d'ideal no principal en este anell és el conjunt de tots els $2a+y\cdot b$ a on $a$ i $b$ són sancers. La gaveta d'este ideal és principal, i de fet, grup de classes és cíclico d'orde tres. El cos de classes corresponent s'obté en adjuntar un element $w$ que satisfà $w^3-w-1=0$ a $\mathbb{Q}(y)$, donant com a resultat $\mathbb{Q}(y,w)$. Un número ideal per a l'ideal no principal $2a+y\cdot b$ és $\iota =(-8-16y-18w+12w^2+10yw+y{w}^2)/23$. Ya que este satisfà l'equació ${\iota }^6-2{\iota }^5+13{\iota }^4-15{\iota }^3+16{\iota }^2+28\iota +8=0$, és un sancer algebraic.

Tots els elements de l'anell de sancers del cos de classes que, en multiplicar-se per $\iota$, donen com a resultat $\mathbb{Z}[y]$, són de la forma $a\cdot \alpha +y\cdot \beta$, a on:

$\alpha =(-7+9y-33w-24w^2+3yw-2y{w}^2)/23$

i

$\beta =(-27-8y-9w+6w^2-18yw-11y{w}^2)/23.$

Els coeficients α i β també són sancers algebraics, que satisfan:

${\alpha }^6+7{\alpha }^5+8{\alpha }^4-15{\alpha }^3+26{\alpha }^2-8\alpha +8=0$

i

${\beta }^6+4{\beta }^5+35{\beta }^4+112{\beta }^3+162{\beta }^2+108\beta +27=0$

respectivament. En multiplicar $a\cdot \alpha +b\cdot \beta$ pel número ideal $\iota$ s'obté $2a+b\cdot y$, que és l'ideal no principal.

Història

Kummer va publicar per primera volta un artícul sobre el fallo de la factorización única en cossos ciclotòmics en 1844 en una revista poc coneguda; que seria reimpreso en 1847 en la revista de Liouville. En treballs posteriors, en 1846 i 1847, va publicar la seua teorema principal: la factorización única en cosins (reals i ideals).

Es creu àmpliament que Kummer va aplegar als seus "número complejo ideals" pel seu interés en l'última teorema de Fermat. Inclús es conta a sovint que Kummer, de la mateixa manera que Lamé, creïa haver demostrat l'Última Teorema de Fermat fins que Lejeune Dirichlet li va dir que el seu argument es basava en la factorización única; pero l'història va ser contada per primera volta per Kurt Hensel en 1910 i l'evidència indica que provablement es derive d'una confusió d'una de les fonts de Hensel. Harold Edwards diu que la creència de que Kummer estava principalment interessat en l'Última Teorema de Fermat "és sense dubte errònea" (Edwards 1977, p. 79). L'us que fa Kummer de la lletra λ per a representar un número primo, α per a denotar la λ-ésima raïl de l'unitat, i el seu estudi de la factorización de l'número primo $p\equiv 1(\mathrm{mod}\lambda )$ en "número complejo composts per $\lambda$-ésimas raïls de l'unitat" es deriven directament d'un artícul de Jacobi que tracta sobre lleis de reciprocitat superiors. Les memòries de Kummer de 1844 varen ser en honor a la celebració del jubileu de l'Universitat de Königsberg i pretenien ser un tribut a Jacobi. Encara que Kummer havia estudiat l'Última Teorema de Fermat en la década de 1830 i provablement era conscient de que la seua teoria tindria implicacions per al seu estudi, és més provable que el tema d'interés de Jacobi (i el de Gauss), les lleis de reciprocitat superiors, tinguera major importància per a ell. Kummer es referia a la seua pròpia demostració parcial de l'Última Teorema de Fermat per als cosins regulars com «una curiositat de la teoria de números més que un tema fonamental», i a la llei de reciprocitat superior (que va enunciar com una conjectura) com «el tema principal i el cim de la teoria de números contemporànea». Per un atre costat, esta última afirmació es va produir quan Kummer encara estava entusiasmat en l'èxit del seu treball sobre la reciprocitat i quan el seu treball sobre l'Última Teorema de Fermat estava perdent impuls, per lo que potser dega prendre's en cert escepticisme.

L'extensió de les idees de Kummer al cas general va ser realisada de forma independent per Kronecker i Dedekind durant els següents quaranta anys. Una generalisació directa va trobar dificultats formidables, lo que finalment va dur a Dedekind a la creació de la teoria de mòduls i d'ideals. Kronecker va abordar estes dificultats desenrollant una teoria de formes (una generalisació de forma quadràtica) i una teoria de divisores. La contribució de Dedekind es convertiria en la base de la teoria d'anells i del àlgebra abstracta, mentres que la de Kronecker es convertiria en una ferramenta fonamental en geometria algebraica.

Bibliografia

• Nicolas Bourbaki, Elements of the History of Mathematics. Springer-Verlag, NY, 1999.
• Harold M. Edwards, Fermat's Last Theorem. A genetic introduction to number theory. Graduate Texts in Mathematics vol. 50, Springer-Verlag, NY, 1977.
• C.G. Jacobi, Über die complexen Primzahlen, welche in der theori der Reste der 5tingues, 8tingues, und 12tingues Potenzen zu betrachten sind, Monatsber. der. Akád. Wiss. Berlín (1839) 89-91.
• E.E. Kummer, De numeris complexis, qui radicibus unitatis et numeris integris realibus constant, Gratulationschrift der Univ. Breslau zur Jubelfeier der Univ. Konigsberg, 1844; reimpreso en Jour. de Matemàtiques. 12 (1847) 185-212.
• E.E. Kummer, Über die Zerlegung der aus Wurzeln der Einheit gebildeten complexen Zahlen in ihre Primfactoren, Jour. für Math. (Crelle) 35 (1847) 327-367.
• John Stillwell, introducció a «Teoria dels sancers algebraics» de Richard Dedekind. Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press, Gran Bretanya, 1996.