Teorema de Kronecker-Weber

En la teoria algebraica de números, la Teorema de Kronecker-Weber establix que cada extensió abeliana finita del cos dels número racional $\mathbb{Q}$, o en atres paraules cada cos d'número algebraico que el seu grup de Galois sobre $\mathbb{Q}$ siga abeliano, és un subcuerpo d'un cos ciclotòmic, és dir un cos obtingut en afegir una raïl de l'unitat als número racional.

El matemàtic alemà Leopold Kronecker va proporcionar la majoria de la prova en 1853, els buits de la qual varen reblir Weber en 1886 i Hilbert en 1896. Es pot provar per mig d'una construcció algebraica directa, encara que també és una conseqüència senzilla de la teoria de cossos de classes i es pot provar juntant senyes locals sobre el cos p-ádico de cada primer p.

Per a una extensió abeliana K de Q existix de fet un camp ciclotòmic mínim que la conté. La teorema li permet a un definir el conductor fde K, com el sancer n més chicotet tal que K residixca en el cos generat per les raïls enèsimes de l'unitat. Per eixemple, els cossos quadràtics tenen com a conductor el valor absolut del seu discriminante, un fet generalisat àmpliament en la teoria de cossos de classes.