Símbol de Kronecker

En teoria de números, el símbol de Kronecker, escrit com $\left(\frac{a}{n}\right)$ o (a|n), és una generalisació del símbol de Jacobi para tots els número entero n. Va ser introduït en 1885 per Leopold Kronecker.

Definició

Siga n un número entero distint de zero, en una factorización en número primo

$n=u{p_1}^{e_1}\cdots {p_k}^{e_k},$

a on o és una unitat (i.i., o és 1 o −1), i els p_i són número primo. Siga a un sancer. El símbol de Kronecker (a|n) es definix com:

$\left(\frac{a}{n}\right)=\left(\frac{a}{u}\right)\prod _{i=1}^k{\left(\frac{a}{p_i}\right)}^{e_i}.$

Para número impar p_i, el (a|p_i) es reduïx simplement al símbol de Legendre. Queda el cas en el que p_i = 2. Es definix (a|2) per

$\left(\frac{a}{2}\right)=\{\begin{array}{cc}0& \text{si }a\text{ es par,}\\ 1& \text{si }a\equiv \pm 1(\mathrm{mod}8),\\ -1& \text{si }a\equiv \pm 3(\mathrm{mod}8).\end{array}$

ya que estén el símbol de Jacobi, la cantitat (a|o) és simplement 1 quan o = 1. Quan o = −1, es definix este per

$\left(\frac{a}{-1}\right)=\{\begin{array}{cc}-1& \text{si }a<0,\\ 1& \text{si }a\ge 0.\end{array}$

Finalment, tenim que

$\left(\frac{a}{0}\right)=\{\begin{array}{cc}1& \text{si }a=\pm 1,\\ 0& \text{de otra manera.}\end{array}$

Estes extensions són suficients per a definir el símbol de Kronecker per a tots els valors sancers n.

Vore també

• Símbol de Legendre
• Símbol de Jacobi