Símbol de Legendre

En la teoria dels números, el símbol de Legendre és una funció multiplicativa utilisada per a determinar el caràcter quadràtic d'un número (mod p), és dir si és residu quadràtic o no; la mateixa que pren com arguments un sancer $a$ i un primer $p$ i torna un dels valors $0,1,-1$ depenent de si $a$ és o no residu quadràtic mòdul $p$, és dir de si la congruència

$x^2\equiv a(\mathrm{mod}p)$

té solució o no.

El símbol de Legendre va ser introduït per Adrien-Marie Legendre in 1798 en el curs dels seus intents de demostrar la llei de reciprocitat quadràtica. Generalisacions del símbol inclouen el símbol de Jacobi i els caràcters de Dirichlet d'orde superior. La conveniència de la notació del símbol de Legendre va inspirar l'introducció de varis atres símbols que s'utilisen en la teoria algebraica de números, com el símbol de Hilbert i el símbol de Artin.

Definició

Donat un sancer $a$ i un cosí impar $p$ , el símbol de Legendre, denotat $\left(\frac{a}{p}\right)$, es definix com seguix:

Eixemple

$x=2\Rightarrow 2^2\equiv 1(\mathrm{mod}3)\Rightarrow \left(\frac{1}{3}\right)=1$.

Vore també

• Criteri de Euler
• Símbol de Jacobi
• Símbol de Kronecker