Símbol de Jacobi

Archiu:Carl Jacobi.jpg

Carl Jacobi

Plantilla:Nobreak	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
1	1
3	0	1	-1
5	0	1	-1	-1	1
7	0	1	1	-1	1	-1	-1
9	0	1	1	0	1	1	0	1	1
11	0	1	-1	1	1	1	-1	-1	-1	1	-1
13	0	1	-1	1	1	-1	-1	-1	-1	1	1	-1	1
15	0	1	1	0	1	0	0	-1	1	0	0	-1	0	-1	-1
17	0	1	1	-1	1	-1	-1	-1	1	1	-1	-1	-1	1	-1	1	1

El símbol Jacobi (m/n) per a varis m (part superior) i n (costat esquerre). Solament es mostren 0 ≤ m < n, ya que per la regla (2) per baix de qualsevol atra m pot ser reduïda a mòdul n. Els residus quadràtics es resalten en groc —note's que cap entrada en un símbol de Jacobi de -1 és un residu quadràtic, i si m és un residu quadràtic (mod n) i gcd (m,n)=1, llavors (m|n)=1, pero algunes entrades en un símbol de Jacobi d'1 (vore la fila n = 9) no són residus quadràtics. Note's també que quan tant n o m són un quadrat, tots els valors són 0 o 1.

En la teoria dels números, el símbol de Jacobi, denotat com $\left(\frac{m}{n}\right)$, és una funció aritmètica que pren dos arguments i torna un valor sancer comprés en l'interval $[-1,1]$. En essència es pot considerar com una generalisació del símbol de Legendre per a valors impars de $n$ que no necessàriament han de ser primers. Deu el seu nom al matemàtic Carl Gustav Jakob Jacobi que ho va introduir en 1837.

Definició

Siga m un número entero i n un número natural impar, que la seua descomposició en factors primers és

$n=\prod _{i=1}^k{p}_i^{a_i}$,

es denomina símbol de Jacobi a l'expressió:

$\left(\frac{m}{n}\right)=\prod _{i=1}^k{\left(\frac{m}{p_i}\right)}^{a_i}$

a on para tot i, p_i és primer i a_i és un número natural, denotant per mig de $\left(\frac{m}{p_i}\right)$ el símbol de Legendre. Òbviament, quan n és un número primo impar, el corresponent símbol de Jacobi es reduïx al de Legendre.

Propietats

El símbol de Jacobi satisfà les mateixes regles que aquell al que generalisa, ademés d'algunes adicionals:

i) Si $n|m$ llavors $\left(\frac{m}{n}\right)=0$.

ii) Un cas especial d'açò últim és que $\left(\frac{m}{m}\right)=0$.

iii) Si $m$ i $n$ són número impar cosins relatius entre sí, i $n\ge 3$ es complix la següent relació:

$\left(\frac{m}{n}\right)\left(\frac{n}{m}\right)=(-1{)}^{(m-1)(n-1)/4}$

iv)

v) Per a P sancer positiu impar es complix: $\left(\frac{a}{P}\right)\left(\frac{b}{P}\right)=\left(\frac{ab}{P}\right)$

Vore també

• Símbol de Legendre
• Símbol de Kronecker