Equació de Pell

Archiu:Pell's equation.svg

Equació de Pell per a n = 2 i sis de les seues solucions sanceres.

Una equació de Pell és una equació diofántica de la forma:

$x^2-n{y}^2=1$

A on n és un número entero.

La pregunta de l'existència de solucions no trivials (diferents de x=1 i i=0) d'esta equació va ser resolta, en una resposta pessimista per a tot n quadrat perfecte. Per a n no quadrat perfecte existixen infinites solucions.

Història

Les primeres equacions tipo Pell es varen estudiar cap a l'any 400 a. C. pels grecs i indis. Estaven interessats en principi en l'equació en n = 2

$x^2-2y^2=1$

ya que l'equivalència d'esta en l'equació $\frac{x^2-1}{y^2}=2$ mostra que si x, i són solucions positives, llavors $\frac{x}{y}$ és una aproximació de $\sqrt{2}$. Quant majors siguen x i i, millor serà l'aproximació.

Estes equacions varen ser estudiades ya per Arquímedes, de manera indirecta, en resoldre el problema de les reses del sol. Encara que el matemàtic que va treballar formalment en elles va ser Bhaskara I en el VII. Per eixemple, va plantejar el problema:

"Digues-me, Oh matemàtic, quin és el quadrat que multiplicat per 8 es convertix - junt en l'unitat - en un quadrat?"

En notació moderna, va preguntar per les solucions de l'equació de Pell x² - 8i²=1. Té la solució fonamental x = 3, i = 1, o acurtat (x,i) = (3,1), a partir de les quals es poden construir més solucions, per eixemple, (x,i) = (17,6).

Brahmagupta

La construcció es dona gràcies als treballs de Brahmagupta en el VII en l'ajuda de l'identitat que du el seu nom. En la seua forma general es veu aixina:

$(x_1^2-n{y}_1^2)(x_2^2-n{y}_2^2)=(x_1{x}_2+n{y}_1{y}_2{)}^2-n(x_1{y}_2+x_2{y}_1{)}^2=(x_1{x}_2-n{y}_1{y}_2{)}^2-n(x_1{y}_2-x_2{y}_1{)}^2$

Aixina, si $(x_1,y_1,k_1)$ i $(x_2,y_2,k_2)$ són solucions de $x^2-m{y}^2=k$ es poden compondre les dos triplas per a generar les noves triplas $(x_1{x}_2+n{y}_1{y}_2),(x_1{y}_2+x_2{y}_1),k_1{k}_2)$ i $(x_1{x}_2-n{y}_1{y}_2),(x_1{y}_2-x_2{y}_1),k_1{k}_2)$. D'esta forma a partir de solucions de l'equació de Pell s'obtenen noves solucions. Brahmagupta va mostrar ademés que si l'equació $x^2-n{y}^2=k$ té solucions per a $k=\pm 1,\pm 2,\pm 4$ llavors l'equació de Pell $x^2-n{y}^2=1$ té solucions. No obstant, no va poder desenrollar un método per a solucionar-la en n arbitrari.

Bhaskara II

En el XII Bhaskara II va usar l'identitat de Brahmagupta per a crear un método que permetria solucionar de manera general l'equació de Pell. El cridat método de chakravala comença en un tripla $(a,b,k)$ i la compon en la tripla trivial $(m,1,m^2-n)$ per a obtindre $(am+nb,a+bm,k(m^2-n))$. Esta última es pot reduir pel Lema de Bhaskara a:

$(\frac{am+nb}{k},\frac{a+bm}{k},\frac{m^2-n}{k})$

Si m es tria de tal manera que $\frac{a+bm}{k}$ siga sancer, llavors els atres dos números de la tripla també ho són. El método tria llavors un tal m que minimise $|m^2-n|$ i procedix a repetir-se en els nous valors trobats. Lagrange va provar en 1768 que este método sempre termina en una solució en k=1, és dir, en una solució a l'equació de Pell per a n arbitrari.

La denominació actual prové d'un error d'Euler, qui va atribuir a John Pell (1610-1685) l'estudi profunt d'estes equacions, quan realment va ser William, Vescomte de Brouncker (c. 1620-1684) el matemàtic que va realisar el treball. Encara que Brouncker va utilisar fraccions contínues i va obtindre solucions va ser Lagrange el matemàtic que va demostrar que tenia infinites solucions i va polir el método de la fracció contínua.

Encara que esta equació es considera resolta, no és possible dir que el problema haja segut solucionat exhaustivament. Existixen algunes dificultats. La troballa de solucions es basa en l'estudi de les unitats en l'anell $\mathbb{Z}[\sqrt{n}]$, íntimament lligat al cos quadràtic $\mathbb{Q}(\sqrt{n})$ o al desenroll en fracció contínua de $\sqrt{n}$.

Existència de solucions

L'anell $\mathbb{Z}[\sqrt{n}]$

Considere el conjunt

$\mathbb{Z}\left[\sqrt{n}\right]=\{a+b\sqrt{n}:a,b\in \mathbb{Z}\}$

en les operacions heretades de

$ℝ$

. Este resulta ser un anell i, si

$\sqrt{n}$

és irracional, una extensió pròpia de

$\mathbb{Z}$

. La ventaja de treballar en este anell, és que l'equació de Pell es pot factorizar de manera convenient com a

$x^2-n{y}^2=(x-y\sqrt{n})(x+y\sqrt{n})=1$

En esta factorización es pot vore fàcilment que Si n és un quadrat perfecte, l'equació no té solucions diferents la solució trivial. Basta vore llavors, el cas en el que n no siga un quadrat perfecte.

Per a n no quadrat perfecte, es definix sobre $\mathbb{Z}\left[\sqrt{n}\right]$ la norma

$N(a+b\sqrt{n})=(a+b\sqrt{n})(a-b\sqrt{n})$

Esta norma té propietats interessants, similars al cas dels número complejo. Per eixemple, el fet de ser multiplicativa, és dir para $\alpha ,\beta \in \mathbb{Z}\left[\sqrt{n}\right]$, $N(\alpha \beta )=N(\alpha )N(\beta )$. Esta propietat és útil, puix en ella es pot reescriure el problema donat per l'equació de Pell com trobar $\alpha \in \mathbb{Z}\left[\sqrt{n}\right]$ tal que $N(\alpha )=1$.

Existència d'una solució de l'equació de Pell

Passe 1

Aplicant el Teorema d'aproximació de Dirichlet para $\alpha =\sqrt{n}$ i un sancer B obtenim que existixen $a_1$ i $b_1$ tals que: $|a_1-b_1\sqrt{n}|<\frac{1}{B}<\frac{1}{b_1}$. Podem triar llavors una successió $\mathrm{...}>B_k>B_{k-1}>\mathrm{...}>B_2>B_1$, que dona lloc a successions $\{a_k\}$ i $\{b_k\}$ tals que per a cada $i$ es complix: $\frac{1}{B_i+1}<|a_i-b_i\sqrt{n}|<\frac{1}{B_i}<\frac{1}{b_i}$

Pas 2

Note que si $|a-b\sqrt{n}|<\frac{1}{b}$ la seua norma és acotada per una constant fixa, puix: $|a+b\sqrt{n}|\le |a-b\sqrt{n}|+\left|2b\sqrt{n}\right|\le 1+\left|2b\sqrt{n}\right|\le 3b\sqrt{n}$, $|a^2-n{b}^2|\le 3\sqrt{n}$. En particular açò es té per a la successió anterior, després existixen infinits números que complixen que la seua norma és acotada per $3\sqrt{n}$

Pas 3

Utilisant el Principi del colomer (versió infinita) es veu fàcilment que deuen existir infinits números $a-b\sqrt{n}$ en la mateixa norma $N\le 3\sqrt{n}$, que ademés complixen $a\equiv a_0$ mod N i $b\equiv b_0$ mod N per a alguns $a_0,b_0<N$. Note que $N\ne 0$, puix 0 és l'únic número de norma 0

Pas 4

En particular, tenim que existixen dos números $a_1-b_1\sqrt{n}$ i $a_2-b_2\sqrt{n}$ que complixen lo anterior. Llavors una solució al problema de Pell està donada per: $a+b\sqrt{n}=\frac{a_1+b_1\sqrt{n}}{a_2+b_2\sqrt{n}}$. És fàcil mostrar que efectivament és solució, utilisant el fet de que la norma és multiplicativa.
Ademés, dita solució és no trivial puix $a_1+b_1\sqrt{n}\ne a_2+b_2\sqrt{n}$.

El grup de solucions

$U=\{\alpha :N(\alpha )=1\}$ és un grup en el producte de l'anell $\mathbb{Z}\left[\sqrt{n}\right]$. Els elements de O són cridats unitats, ya que O també es pot vore com el conjunt dels invertibles de $\mathbb{Z}\left[\sqrt{n}\right]$.

L'unitat fonamental

Siga $\zeta =x+y\sqrt{n}$ el menor número (en l'orde usual en $ℝ$) tal que $\zeta \in U$ i $x,y>0$. Dit número existix per l'existència de solucions no trivials de l'equació de Pell, i perque $\mathbb{Z}\left[\sqrt{n}\right]$ és discret. Ademés el grup $U$ és generat per $\zeta$ i -1.

D'esta manera si $\zeta =x+y\sqrt{n}$, totes les solucions positives de l'equació de Pell són de la forma ${\zeta }^m=(x+y\sqrt{n}{)}^m$ per a cada $m\in \mathbb{N}$. Açò prova ademés l'existència d'infinites solucions de l'equació de Pell per a n no quadrat perfecte