Valoració (matemàtiques)

En matemàtiques, més particularment en geometria algebraica i en teoria de números, una valoració, o valoració de Krull, és una mida de multiplicitat. La noció és una generalisació de la noció de grau o orde de cancelació d'un anell de polinomis en àlgebra, del grau de divisibilidad per un número primo en teoria de números, de l'orde d'un pol en anàlisis complex o del número de punts de contacte entre dos varietats algebraiques en geometria algebraica.

Definició

Es denomina valoració a una aplicació d'un anell conmutativo unitari $(A,+,\times )$ distint de zero a un grup abeliano totalment ordenat $(G,+,<)$ i la seua unió en l'infinit

$v:A⟶G\cup \{\mathrm{\infty }\}$

que verifica les següents propietats:

• $\mathrm{\forall }x\in A,v(x)=\mathrm{\infty }⟺x=0$;
• $\mathrm{\forall }x,y\in A,v(xy)=v(x)+v(y)$;
• $v(x+y)⩾\min (v(x),v(y))$, propietat que està conectada a la desigualtat triangular en espais mètrics.

Notes:

1. S'utilisen les convencions clàssiques $a<\mathrm{\infty }$ i $a+\mathrm{\infty }=\mathrm{\infty }$ per a tots els $a\in G$.
2. Alguns autors es llimiten a realisar evaluacions en un cos.
3. Si A és un cos o no, v és un morfismo de monoides de (A *, ×) en (G, +).
4. Quan A és un cos, v és, per lo tant, un homomorfisme de grups de (A*, ×) en (G, +), de modo que v(A*) és un subgrup de G.
5. Quan A és un cos, a voltes s'exigix que v siga sobreyectiva, pero sempre es pot tornar a esta situació reemplaçant G per v(AT*).

Es diu que dos valoracions v i v' en A sò equivalents si hi ha un isomorfisme de semigrupos ordenats

$\lambda :v(A^{*})\to v^{\prime }(A^{*})\text{tal que}{v}^{\prime }=\lambda \circ v.$

Valoracions discretes

Vore també: Anell de valoració discreta

Quan el grup G és ℤ, v es denomina valoració de Dedekind o valoració discreta. Dos valoracions discretes v i v' sobre A sò equivalents si i solament si són proporcionals, és dir, si existix un número racional k no nul tal que

$\mathrm{\forall }x\in A^{*},v^{\prime }(x)=kv(x).$

Les classes d'equivalència de valoracions discretes en un anell es denominen els seus llocs.

Valoració trivial

La valoració

$\begin{array}{cccc}v:& A& ⟶& G\cup \{\mathrm{\infty }\}\\ & x& ⟼& \{\begin{array}{cc}\mathrm{\infty }& \mathrm{s}\mathrm{i}x=0\\ 0& \mathrm{s}\mathrm{i}x\ne 0\end{array}\end{array}$

es diu valoració trivial.

Propietats

Propietats generals

Siga A un anell conmutativo unitari distint de zero proveït d'una valoració v. Llavors:

• $v(1)=v(-1)=0$;
• $\mathrm{\forall }x,y\in A,v(x-y)⩾\min (v(x),v(y))$;
• $\mathrm{\forall }x,y\in A,v(x)\ne v(y)\Rightarrow v(x+y)=\min (v(x),v(y))$;
• A és un domini d'integritat;
• existix una única valoració w en un cos de fraccions Frac(A) que amplia v:

$\mathrm{\forall }p/q\in \mathrm{F}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}(A),w(p/q)=v(p)-v(q)$.

Valoracions discretes sobre el cos dels racionals

Artícul principal → Teorema de Ostrowski.

Els llocs de ℚ, és dir, les valoracions discretes de ℚ (sense considerar un factor de proporcionalitat), són els de:

• valoració trivial;
• les valoracions p-ádicas.

Valor absolut associat

Siga v una valoració de A en valors reals, i ρ ∈ ]0, 1[. S'associa en v un valor absolut ultramétrico (la noció de valor absolut generalment es definix en un camp, pero perfectament definible en qualsevol anell, i sempre induïx una distància en el seu conjunt subjacent; vore més alvance) expressat com | ∙ |_v; i tal que

$\mathrm{\forall }x\in A^{*},|x{|}_v={\rho }^{v(x)}$.

La distància associada a este valor absolut ($d(x,y)=|x-y{|}_v$) fa que A siga un anell topològic que inclou la topología derivada d'un espai ultramétrico.

Si A és un cos, llavors $(A,|\cdot {|}_v)$ és un cos valorat, per lo que el seu anell completat (per a $d$) és un cos valorat complet. Per la prolongació de les desigualtats, el valor absolut d'este anell completat seguix sent ultramétrico. Per eixemple, els cossos ℚ_p i k((T)) poden obtindre's per mig d'esta construcció.

Vore també

• FRACTRAN