Valor absolut ultramétrico

Un valor absolut ultramétrico és una aplicació d'un cos K en el conjunt ℝ₊ dels número real positius verificant les següents tres propietats:

• $|x|=0_{ℝ}⟺x=0_K$ (axioma de separació);
• $|xy|=|x||y|$ (homomorfisme de grups multiplicativo de K* sobre ℝ₊*)
• $|x+y|\le \max (|x|,|y|)$ (desigualtat ultramétrica)

qualssevol que siguen els elements $x$ i $y$ de K.

Eixemples

Valor absolut trivial

El valor absolut trivial de K associa en 0 el valor 0 i el valor 1 en qualsevol atre element de K.

És el valor absolut ultramétrico associat en la valoració trivial en K.

Valor p-ádico absolut

Artícul principal → Número p ádico.

Siga un número primo arbitrari $p$. Es pot escriure de forma única qualsevol número racional $r$ en la forma:

$r=p^k\frac{a}{b}$ a on $k\in \mathbb{Z}$ i a on $a$ i $b$ són primers entre sí i cosins sobre $p$.

Llavors es definix l'aplicació associant el valor $r$ en un número racional $|r{|}_p=p^{-k}$. Per eixemple,

${\left|\frac{21}{4}\right|}_2=4,{\left|\frac{15}{7}\right|}_2=1\text{ y }{\left|\frac{60}{11}\right|}_2=\frac{1}{4}.$

Esta aplicació és un valor absolut ultramétrico en el cos $\mathbb{Q}$, associat en la valoració p ádica.

Vínculs en nocions relacionades

• Esta aplicació és un cas especial de valor absolut sobre un cos.
• L'aplicació d : (x, i) ↦ |i – x| és en conseqüència una distància en K; la simetria es deu al fet de que $|-x|=|x|$ per a qualsevol element $x$ de K.
• Esta distància és ultramétrica.
• Una aplicació és un valor absolut ultramétrico si i solament si és un valor absolut associat a una valoració en valors reals.

Vore també

• Norma ultramétrica