Cos de fraccions

En àlgebra abstracta, es denomina cos de fraccions d'un domini d'integritat $A$ al mínim cos que conté a dit domini. Dit cos sempre existix i es denota per $Q(A)$, $\mathrm{Q}\mathrm{u}\mathrm{o}\mathrm{t}(A)$ (de l'anglés: quotient field) o $\mathrm{F}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}(A)$.

L'eixemple més senzill d'un cos de fracciones és el dels número racional, que són el cos de fraccions dels número entero. El cos de fraccions de qualsevol atre domini d'integritat es construïx de manera anàloga a est.

Construcció

Siga un anell conmutativo $A$, que a la seua volta siga un domini d'integritat, és dir, que carixca de divisores de zero. Denotarem per $A^{*}$ al conjunt $A\setminus \{0\}$. El procés de construcció del cos de fraccions de $A$ és el següent:

• Formem el producte cartesiano $A\times A^{*}$, compost per tots els parells ordenats $(a,b)$, a on $a,b\in A$, i $b\ne 0$.
• Definim la relació $ℛ$ definida per:

$(a,b)ℛ(c,d)⟺a\cdot d=b\cdot c$.

Esta $ℛ$ és una relació d'equivalència.

• Denotem per $Q(A)$ al conjunt cocient $(A\times A^{*})/ℛ$, i per $\frac{a}{b}$ a la classe d'equivalència del parell ordenat $(a,b)$.

Com es vorà més alvance, este conjunt $Q(A)$ se li pot dotar d'estructura de cos en les operacions adequades. Ademés, l'anell $A$ és un subanillo de $Q(A)$, ya que podem identificar cada element $a\in A$ en l'element $\frac{a}{1}\in Q(A)$. Una atra propietat interessant és que este cos és, llevat isomorfisme, el menor cos que conté a $A$. És dir, si existix un cos $K$ tal que $A\subset K$, llavors $Q(A)\subseteq K$. En particular, si $A$ és un cos llavors és isomorfo al seu cos de fraccions.

Operacions del cos

Sumixca

Definim la suma en el cos de fraccions com $+:Q(R)\times Q(R)⟶Q(R)$ de la següent manera:

$+(\frac{a}{b},\frac{c}{d}):=\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{(a\cdot d)+(b\cdot c)}{b\cdot d},\mathrm{\forall }\frac{a}{b},\frac{c}{d}\in Q(R)$

És senzill comprovar que és una operació interna ben definida, associativa, conmutativa, que té element neutre $\frac{0}{b}$ per a qualsevol $b$, i que tot element $\frac{a}{b}\in Q(R)$ té per element opost a $\frac{-a}{b}$. Aixina, $(Q(R),+)$ té estructura d'un grup abeliano.

Producte

Definim la multiplicació en el cos de fraccions com $\cdot :Q(R)\times Q(R)⟶Q(R)$ de la següent manera:

$\cdot (\frac{a}{b},\frac{c}{d}):=\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d},\mathrm{\forall }\frac{a}{b},\frac{c}{d}\in Q(R)$.

És senzill comprovar que és una operació interna ben definida, associativa, conmutativa, que té element neutre $\frac{a}{a}$ per a qualsevol $a$, i que tot element $\frac{a}{b}\in (Q(R)\setminus \{0\}$ té per element simètric (element invers) a $\frac{b}{a}$. Aixina, $(Q(R)\setminus \{0\},\cdot )$ és un grup abeliano.

Distributividad

Es demostra sense dificultat que el producte (·) és distributivo respecte de la suma (+). Açò fa que $(Q(R),+,\cdot )$ quede dotat d'estructura de cos.

Vore també

• Anell de fraccions.
• Fracció.
• Número racional.