Anell de fraccions

En àlgebra conmutativa es denominen anells de fraccions a uns objectes matemàtics que generalisen el concepte de cos de fraccions. Donats un anell conmutativo $A$ i un subconjunt seu no buit que satisfà certes condicions -els elements de les quals cridarem denominadors- es pot formar un anell en el qual tots els denominadors tinguen invers multiplicativo. Este anell, cridat anell de fraccions de $A$ és també conmutativo i ademés és unitari, encara que el propi $A$ no ho siga.

Construcció de l'anell de fraccions d'un anell

Siga $A$ un anell conmutativo. Siga $𝒟\subset A$ un subconjunt qualsevol que satisfà les dos condicions següents:

• no conté al zero de l'anell: $0\notin 𝒟$.
• és multiplicativamente tancat: $a,b\in 𝒟⟹ab\in 𝒟$.

Considerem en $A\times 𝒟$ la relació binaria

$(a,s)\sim (b,t)\iff \mathrm{\exists }u\in 𝒟:u(at-sb)=0$.

És fàcil comprovar que $\sim$ és una relació d'equivalència i, per tant, pot considerar-se el conjunt cocient $(A\times 𝒟)/\sim$ que denotarem per ${𝒟}^{-1}A$. Indicarem per $a/s$ o $\frac{a}{s}$ a la classe de l'element $(a,s)$.

Les operacions adició i producte donades per

$\frac{a}{s}+\frac{b}{t}=\frac{at+bs}{st}$

$\frac{a}{s}\cdot \frac{b}{t}=\frac{ab}{st}$

estan ben definides i doten a ${𝒟}^{-1}A$ d'una estructura d'anell conmutativo i unitari, que es denomina anell de fraccions de l'anell $A$ respecte de $𝒟$: $({𝒟}^{-1}A,+,\cdot )$.

L'inclusió natural $A\to {𝒟}^{-1}A$

Donat un element fix $d\in 𝒟$ qualsevol, podem definir un homomorfisme d'anells donat per

$A\to {𝒟}^{-1}A:a\mapsto \frac{ad}{d}$.

L'image $\frac{d^{\prime }d}{d}$ de cada denominador $d^{\prime }\in 𝒟$ té un invers multiplicativo $\frac{d}{d^{\prime }d}$ en ${𝒟}^{-1}A$.

No obstant, si el conjunt $𝒟$ conté divisores de zero, p.i. l'element $d\in 𝒟$ sent $bd=0$, tindríem

$b\mapsto \frac{bd}{d}=\frac{0}{d}=0$,

en lo que l'homomorfisme anterior no seria inyectivo.

En cas contrari, si el conjunt $𝒟$ no conté divisores de zero, podem embeber l'anell $A$ de manera natural en l'anell de fraccions ${𝒟}^{-1}A$, que és de fet el menor anell que conté a $A$, llevat isomorfisme, en el que cada denominador $d\in 𝒟$ té invers.

Quan el conjunt $𝒟$ conté a tots els elements que no són divisores de zero (i res més) l'anell resultant es denomina anell total de fraccions de $A$. Si $A$ és un domini d'integritat, l'anell total de fraccions és el cos de fraccions de $A$.

Vore també

• Fracció.
• Cos de fraccions.
• Invers multiplicativo.