Teorema de Ostrowski

La teorema de Ostrowski, per Alexander Ostrowski, establix que qualsevol valor absolut no trivial sobre els número racional Q és equivalent ben al valor absolut real usual o a un valor absolut p-ádico.

Dos valors absoluts | | i | |^* sobre un cos C es diu que són equivalents si existix un número real $\alpha >0$ tal que

$|x{|}^{*}=|x{|}^{\alpha }\text{ para todo }x\in C.$

Es definix el valor absolut trivial sobre qualsevol cos C com

$|x{|}_0=\{\begin{array}{cc}0,& \text{si }x=0\\ 1,& \text{si }x\ne 0.\end{array}$

El valor absolut real sobre Q és el valor absolut normal sobre els número real, i es definix com

$|x{|}_{\mathrm{\infty }}=\{\begin{array}{cc}x,& \text{si }x\ge 0\\ -x,& \text{si }x<0.\end{array}$

Per a un número primo p, es definix el valor absolut p-ádico sobre Q com seguix: qualsevol número racional x distint de zero es pot expressar de forma única com $x=p^n\frac{a}{b}$, sent a, b i p coprimos dos a dos i n sancer (positiu, negatiu o 0). Llavors

$|x{|}_p=\{\begin{array}{cc}0,& \text{si }x=0\\ p^{-n},& \text{si }x\ne 0.\end{array}$

Atres teoremes de Ostrowski

Una atra teorema establix que un cos arbitrari complet respecte del valor absolut arquimediano és (algebraica i topológicamente) isomorfo a be els número real o be els número complejo. Esta teorema també es coneix com a teorema de Ostrowski.

Vore també

• Valor absolut