Proporcionalitat

La proporcionalitat és una relació o raó constant entre diferents magnituts que es vagen a medir.

Símbol

El símbol matemàtic '∝' s'utilisa per a indicar que dos valors són proporcionals. Per eixemple: A ∝ B.

Proporcionalitat directa

Donades dos variables X i I, I és (directament) proporcional a X (X i I varien directament, o X i I estan en variació directa) si hi ha una constant distinta de zero tal que:

$y=kx.$

La relació a sovint es denota

Els dos rectànguls en franges són semblants, els cocients de les seues dimensions s'indiquen horisontalment en l'image. La duplicació de l'escala del triàngul en franges s'indica oblicuamente en l'image.

$y\propto x$

i la raó constant

$k=y/x$

és cridada constant de proporcionalitat.

Per a ilustrar, supongam que si dividim el pes d'una mostra de ferro pel seu volum, el resultat serà el mateix que l'obtingut en dividir el pes de qualsevol atra mostra pel seu volum, dit cocient correspon a la constant de proporcionalitat.

Primer eixemple

La recepta d'un pastiç de vainilla indica que per a quatre persones es necessiten 200 g de farina, 150 g de manteca, quatre ous i 120 g de sucre. ¿Cóm adaptar la recepta per a cinc persones? Segons varis estudis ^{cita requerida}, la majoria de la gent calcularia les cantitats per a una persona (dividint entre quatre) i després les multiplicaria pel número real de persones, cinc, unes atres solament li sumarien lo que a una persona li correspon. Una minoria no sent la necessitat de passar per les cantitats unitàries (és dir per persona) i multiplicaria els números de la recepta per 5/4 = 1,25 (lo que equival a afegir cinc ous, 250 g de farina; 187,5 g de manteca i 150 g de sucre).

Es diu que la cantitat de cada ingredient és proporcional al número de persones i es representa esta situació per mig d'una taula de proporcionalitat: coeficient k no nul (

$\frac{5}{4}$

en l'eixemple) tal que

$y_1=k\cdot x_1,y_2=k\cdot x_2\mathrm{...}{y}_n=k\cdot x_n$

recta que passa per l'orige de coordenades

Si es consideren $x_1,x_2\mathrm{...}{x}_n$ i $y_1,y_2\mathrm{...}{y}_n$ com a valors de variables $x$ i $y$, llavors es diu que estes variables són proporcionals; l'igualtat i = k·x significa que i és una Funció llineal de x.
La representació gràfica d'esta funció és una recta que passa per l'orige del sistema de coordenades. Una variació (increment o decremento) de x dona lloc a una variació proporcional d'i (i recíprocament, ya que k≠0: i = 1/k · x):

$\Delta y=k\cdot \Delta x$

Són les funcions més senzilles que existixen i les primeres que s'estudien en classe de matemàtiques, en alumnes de tretze anys aproximadament.

La relació «Ser proporcional a» és

• reflexiva ( tota variable és proporcional a sí mateixa, en el coeficient 1)
• simètrica (quan i és proporcional a x llavors x ho és a i, en el coeficient invers) i
• transitiva (si x és proporcional a i, i i a z, llavors x ho és en z, multiplicant els coeficients)

per lo que es tracta d'una relació d'equivalència. En particular dos variables proporcionals a una tercera seran proporcionals entre sí).

La taula del primer eixemple es pot descompondre en tres de format dos per dos:

tres taules de proporcionalitat 2x2

per tant les propietats de la proporcionalitat s'ilustren preferentment en taules de quatre caselles.

tres maneres de vore la proporcionalitat

Una proporció està formada pels números a, b, c i d, si la raó entre a i b és la mateixa que entre c i d.

Una proporció està formada per dos raons iguals: a : b = c : d

On a, b, c i d són distints de zero i es llig a és a b com a c és a d .

Proporció múltiple:

Una série de raons està formada per tres o més raons iguals: a : b = c : d = i : f

I es pot expressar com una proporció múltiple: a : c : i = b : d : f

En la proporció hi ha quatre térmens; a i d es diuen extrems; c i b es diuen mijos.

En tota proporció el producte dels extrems és igual al producte dels mijos.

Per a establir que una taula és proporcional, es pot:

1. verificar que la segona columna és múltiple de la primera, (primera taula: per a passar de la primera casella a la segona, cal multiplicar per $\frac{b}{a}$; en la segona llínea es té que multiplicar per $\frac{d}{c}$, després estes fraccions deuen ser iguals per a obtindre columnes proporcionals)
2. verificar que la segona llínea és múltiple de la primera (segona taula, en un raciocinio paregut) o
3. verificar l'igualtat dels productes creuats: a·d = b·c. (tercera taula: les igualtats anteriors equivalen a a·d = b·c, quan no hi ha valors nuls, que per cert no tenen un gran interés en este context). ya que no es pot comprovar el número

Segon eixemple

Dos albañil varen construir una paret per a una casa de dotze metros quadrats de superfície en tres hores; ¿ Quina superfície construiran cinc albañil en quatre hores ?

Hi ha dos paràmetros que influïxen en la superfície construïda: El número d'albañil i el temps de treball. No cal resistir a la tentació d'aplicar dos voltes la proporcionalitat, pero això sí, explicitant les hipòtesis subjacents.

Afirmar que el treball realisat és proporcional al número d'albañilés equival a dir que tots els obrers tenen la mateixa eficàcia al treball (són intercanviables); i afirmar que la superfície és proporcional al temps de treball supon que el rendiment no canvia en el temps: els albañil no es cansen.

proporcionalitat múltiple

Admetent estes dos hipòtesis, es pot contestar a la pregunta passant per una etapa intermija: ¿ Quina superfície construirien dos albañil en quatre hores ? El paràmetro "número d'albañil" té un valor fix, després s'aplica la proporcionalitat en el temps (subtabla roja). La superfície construïda serà multiplicada per $\frac{4}{3}$. Després, fixant el paràmetro temps a quatre hores, i variant ell del número d'obrers de 2 a 5, la superfície serà multiplicada per $\frac{5}{2}$ (la subtabla blava és proporcional).

El resultat final és

$12\times \frac{4}{3}\times \frac{5}{2}=40$

metro quadrat.

La proporcionalitat múltiple es resol aixina, multiplicant pels coeficients corresponents a cada factor.

Tercer eixemple

Dos autos recorren exactament el mateix camí. Al primer li ha pres dos hores i media aplegar al destí, rodant a una velocitat promig de 70 km/h. El segon roda a 100 km/h. ¿Quant temps ha tardat en aplegar?

Quanta major velocitat tinga un, menor temps durarà el viage. Si es multiplica per dos la velocitat, la duració del viage es dividirà en dos. Ací, clarament el temps del recorregut no és proporcional a la velocitat sino justament lo contrari: és inversamente proporcional, és dir proporcional a l'inversa de la velocitat. Açò permet respondre a la pregunta:

eixemple de proporcionalitat inversa

canviant una multiplicació per una divisió (primera taula) o aplicant la proporcionalitat en l'inversa de la velocitat (segona taula). El temps serà $2,5\times \frac{7}{10}=1,75$, és dir una hora i 45 minuts.

Més generalment, si una variable i és inversamente proporcional a una atra variable x, es pot aplicar la proporcionalitat en $\frac{1}{x}$, o més be utilisar la següent equivalència:

método per a la proporcionalitat inversa

És dir que el producte dels valors corresponents (ací en la mateixa llínea) és constant. En l'eixemple: 70 × 2,5 = 100 × 1, 75 = 175 km, que és la llongitut del recorregut.

Una taula de variació proporcional és aquella que seguix una seqüència utilisant de base el preu d'algun objecte o una atra cosa que puga aumentar o disminuir cert número o objecte de forma proporcional. ejem:

número de canicas preu

2 canicas 50 centaus

4 canicas 1 pes

6 canicas 1,50 pesos

Magnituts Directament Proporcionals:

Dos magnituts són directament proporcionals quan en multiplicar o dividir una d'elles per un número, l'atra queda multiplicada o dividida respectivament pel mateix número.

Eixemple:

Un automòvil consumix 3 galons de gasolina per 120 km de recorregut ¿Quants quilómetros recorre en 20 galons?

Observem que les magnituts són directes Si la raó o cocient entre elles és un valor constant. En les senyes de la taula, trobem la raó.

Elaborem una taula de proporcionalitat:

Gasolina (galons)	3	1	10	20	40
Recorregut (quilómetros)	120	40	400	800	1600

En 20 galons de gasolina, l'auto recorre 800 quilómetros: Mentres més quilómetros es recórreguen, més galons de gasolina es consumiran. El número de quilómetros recorreguts és directament proporcional (D.P) al número de galons de gasolina. Sempre que les demés condicions es mantingueren constants. Significa, que no es modificaren les condicions climàtiques o geogràfiques que modificaren el consum.

Vore també

• Proporcionalitat composta
• Correlació
• Eudoxo de Cnidos
• Número áureo
• Proporcionalitat creixent
• Triànguls semblants
• Tipografia proporcional
• Regla de tres
• Relació d'equivalència

Creiximent

• Creiximent llineal
• Creiximent hiperbòlic