Espai-temps anti de Sitter

En cosmologia, el espai-temps anti-de Sitter de n dimensions, denotat com AdS_n, és una varietat Lorentziana maximalment simètrica, que ademés té una curvatura escalar constant i negativa. L'espai-temps de Sitter és similar pero en una curvatura constant i positiva. Tant l'espai-temps anti-de Sitter com l'espai-temps de Sitter deuen el seu nom a Willem de Sitter (1872-1934), professor d'astronomia en l'Universitat de Leiden i director del Observatori de Leiden. Willem de Sitter i Albert Einstein varen treballar junts en els anys 1920 en Leiden sobre l'estructura de l'espai-temps de l'univers.

Els espais localment euclídeos de curvatura constant són més familiars en el cas de dos dimensions. Per eixemple la superfície d'una esfera és una superfície localment euclídea de curvatura positiva constant, un pla pla o euclidiano és un atre eixemple de superfície de curvatura constant, només que en curvatura zero. Finalment el pla hiperbòlic és una superfície de curvatura negativa constant. Els espais-temps de Sitter i anti-de Sitter es basen en estes tres construccions de curvatura constant, pero en un número arbitrari de dimensions. La teoria de la relativitat coloca l'espai i el temps en peu d'igualtat, de modo que es considera la geometria d'un espai-temps unificat en lloc de considerar l'espai i el temps per separat. Els casos d'espai-temps de curvatura constant són l'espai de Sitter (positiu), l'espai-temps de Minkowski (zero) i l'espai anti-de Sitter (negatiu). Com a tals, són solucions exactes de les equacions de camp d'Einstein per a un univers buit en una constant cosmológica positiva, zero o negativa, respectivament.

L'espai anti-de Sitter es generalisa a qualsevol número de dimensions de l'espai. En les dimensions superiors, és millor conegut pel seu paper en la correspondència AdS/CFT, lo que sugerix que és possible descriure una força en la mecànica quàntica (com l'electromagnetisme, la força dèbil o la força forta) en un cert número de dimensions (Per eixemple quatre) en una teoria de cordes a on les cordes existixen en un espai anti-de Sitter, en una dimensió adicional.

Explicació no tècnica

Esta explicació no tècnica definix primer els térmens usats en el material introductori d'esta entrada. Després, descriu breument l'idea subjacent d'espai-temps de forma similar a la relativitat general. Després es discutix cóm l'espai de Sitter descriu una variant distinta de l'espai-temps ordinari de la relativitat general (cridat espai de Minkowski) relacionat en la constant cosmológica, i cóm l'espai anti-de Sitter diferix de l'espai de Sitter. També explica que l'espai de Minkowski, l'espai de Sitter i l'espai anti-de Sitter, tal com s'apliquen a la relativitat general, poden ser considerats com encaixats en un espai-temps pla de 5 dimensions. Finalment, oferix algunes advertències que descriuen en térmens generals cóm esta explicació no tècnica falla en capturar el detall complet del concepte matemàtic.

Térmens tècnics traduïts

Una varietat lorentziana máximalment simètrica és un espai-temps en el que cap punt en l'espai i el temps pot ser distinguit de cap manera d'un atre, i (sent lorentziano) l'única manera en que una direcció (o tangente a un camí en un punt de l'espai-temps) pot distinguir-se és si és de tipo espacial, si és de tipo llum o si és de tipo temporal. L'espai de la relativitat especial (espai de Minkowski) és un eixemple.

Una curvatura escalar constant significa, com la gravetat en la relativitat general, una distorsió de l'espai-temps que té una curvatura descrita per un sol número que és el mateix en tots els llocs en l'espai-temps en absència de matèria o energia.

Curvatura negativa significa curvat hiperbólicament, com una superfície de cadira de montar o la superfície de la banya de Gabriel, similar a la d'una campana de trompeta. Podria ser descrit com el "opost" de la superfície d'una esfera, que té una curvatura positiva.

Espai de Sitter en la relativitat general

L'espai de Sitter implica una variació de la relativitat general en la que l'espai-temps és llaugerament curvat en absència de matèria o energia. Açò és anàlec a la relació entre la geometria euclidiana i la geometria no euclidiana.

Una curvatura intrínseca de l'espai-temps en absència de matèria o energia és modelada per la constant cosmológica en la relativitat general. Açò correspon al buit que té una densitat d'energia i pressió. Esta geometria de l'espai-temps dona com a resultat que geodèsiques de temps inicialment paraleles divergixquen, en seccions espacials que tenen curvatura positiva.

L'espai anti-de Sitter es distinguix de l'espai de Sitter

Un espai anti-de Sitter en relativitat general és similar a un espai de Sitter, llevat en el signe de la curvatura canviat. En este cas, en absència de matèria o energia, la curvatura de seccions espacials és negativa, lo que correspon a una geometria hiperbòlica, i les geodèsiques de temps inicialment paraleles eventualment es intersectan. Açò correspon a una constant cosmológica negativa (que no coincidix en les observacions cosmológicas). Ací, l'espai buit té una densitat d'energia negativa pero una pressió positiva.

En un espai anti-de Sitter, com en un espai de Sitter, la curvatura inherent de l'espai-temps correspon a la constant cosmológica.

Espai de Sitter i espai anti-de Sitter vists com encaixats en cinc dimensions

Com es va senyalar dalt, l'analogia utilisada anteriorment descriu la curvatura d'un espai bidimensional causada per la gravetat en la relativitat general en un espai d'encaix tridimensional que és pla, de la mateixa manera que l'espai de Minkowski de la relativitat especial. L'encaix dels espais de Sitter i anti-de Sitter plans de cinc dimensions permet determinar les propietats dels espais encaixats. Les distàncies i ànguls dins de l'espai encaixat poden determinar-se directament a partir de les propietats més simples de l'espai pla de cinc dimensions.

Mentres que l'espai anti-de Sitter no correspon a la gravetat en la relativitat general en la constant cosmológica observada, es creu que un espai anti-de Sitter correspon a atres forces en la mecànica quàntica (com l'electromagnetisme, la força nuclear dèbil i la força nuclear forta) . Açò es diu la correspondència AdS/CFT.

Descripció matemàtica

Aixina com els espais esfèrics i hiperbòlics poden ser visualisats per una encaix isomètric en un espai euclídeo pla d'una dimensió superior (com l'esfera i pseudoesfera respectivament), l'espai-temps anti-de Sitter pot visualisar-se com l'anàlec lorentziano d'una esfera en un espai d'una dimensió adicional. La dimensió extra és temporal. En lo que seguix adoptem la convenció de que la mètrica en direcció temporal és negativa (conveción $- + + +$ ).

L'espai-temps anti-de Sitter de la firma ( p, q) pugues llavors estar isométricamente incrustat en l'espai $ℝ^{p, q + 1}$ en coordenades ( x₁, . .., x_p, t₁, ..., t_q+1) i el mètric

d s^{2} = \sum_{i = 1}^{p} d x_{i}^{2} - \sum_{j = 1}^{q + 1} d t_{j}^{2}

com la cuasi-esfera

\sum_{i = 1}^{p} x_{i}^{2} - \sum_{j = 1}^{q + 1} t_{j}^{2} = - α^{2},

a on $α$ és una constant no nula en dimensions de llongitut (el ràdio de curvatura). Es tracta d'una esfera (generalisada) en el sentit de que és un conjunt de punts per als que la "distància" (determinada per la forma quadràtica) des de l'orige és constant, pero visualment és un hiperboloide, com en l'image mostrada.

Referències

Bibliografia

Plantilla:Cite paper
Plantilla:Springer
Plantilla:Cite
Frances, C. (2005). «The conformal boundary of anti-de Sitter space-claves», AdS/CFT correspondence: Einstein metrics and their conformal boundaries, Zürich: Eur. Math. Soc., pp. 205–216.
(1984).Hokkaido Mathematical Journal.13

123–132.|access-dona't=4 de febrer de 2017}}

Wolf, Joseph A. (1967). Spaces of Constant Curvature, pp. 334.

Este artícul conté una traducció derivada de «Espacio-tiempo anti de Sitter» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.